对于偏微分方程的研究,越来越多的人关注方程解的水平集的几何性质,例如水平集凸性、高斯曲率、主曲率估计等问题.本文是在已有的研究基础上,在黎曼流形上,选取适当的坐标系,考虑半线性方程水平集曲率所满足的方程,通过运用极值原理和常秩定理来刻画方程解的几何性质.　　根据内容本文分为以下三节:　　第一节概述了本篇论文相关的发展历史和理论依据.　　第二节论述证明了几个重要的必不可少的定理和引理.　　第三节在详细论证计算的基础上得出结果.　　主要结果如下:　　定理1.设Ω?S2,u∈C4(Ω)是满足定解问题此处公式省略:的一个正解,考虑v=?logu,如果矩阵(vij)≥0,那么H=(vij)在Ω中保持常秩,其中λ1是第一特征值.　　定理2.设M2是二维常曲率空间形式,Ω?M2.u是Ω上半线性方程△u=g(u)的光滑解，g满足g>0且g′<0,若|▽u|≠0,并且u的水平集关于|▽u|是凸的,则函数ψ=|▽u|3·K在区域边界取得极小值.