数论这门古老的学科是纯粹数学的一个分支，初等数论是以整除理论为基础，研究整数性质和方程整数解的一门学科，数论函数是初等数论中的一个重要部分.数论函数是指定义在正整数集合上的函数.研究数论函数均值是数论函数的一个重要研究课题.本论文中，我们主要研究了三个问题中的有关数论函数以及数论函数的均值.　　首先，讨论的问题是法国数学家Pierre de Fermat在1640年提出的猜想，当n为正整数时，具有形式Fn=22n+1的数Fn是否一定为素数，以及第一个解决这个问题的瑞士数学家和物理学家Leonhard Euler首先提出的函数欧拉函数之前的联系，给出了他们之间的一个等价命题.　　然后，我们又研究了欧拉函数的性质，观察欧拉函数值的分布，提出研究不属于欧拉函数值域的正偶数的特点，进而欧拉函数的反函数的一些性质，研究了非欧拉商数的分布规律，给出了部分非欧拉商数的构造方法.　　最后，我们还探讨了一个关于Smarandache教授提出的伪n倍数序列问题.给出了当x取特定值时序列的精确部分和以及当x取任意值时序列的部分和的渐近公式.