本文主要分为两部分。第一部分属于光滑遍历论范畴。我们考虑一类定义在乘积空间上的非双曲微分同胚,借助Pesin理论以及一致双曲动力系统的基本理论,研究了此类系统的遍历论。证明了其恰好存在两个SRB吸引子,且它们的basin是全概率的,所以此类系统属于近来人们所猜测的所有动力系统空间中的“典型系统”。我们还进一步证明这个系统的SRB吸引子的basin具有一种被称之为intermingled的复杂奇异现象,即所有basin是测度稠密地混合在一起而不可分割。这一类现象在现实物理系统中已被大量的数值实验所观测到,并且被认为与物理,生物,计算理论等很多根本性问题有关。最后,我们讨论了一个具体的实例作为主要结果的应用。第二部分属于向量场的几何理论。我们利用常微分方程定性方法,研究了一类平面Lienard系统的相图结构与分支问题。根据Poincare-Bendixson原理,我们构造了一个全局正向不变集,进而证明了极限环的存在性,唯一性以及稳定性。并利用旋转向量场的思想,确定了不存在极限环的参数区域。特别地,利用本文的方法,可以不必研究无穷远奇点而得到系统的全局性质。由此,我们得到了此类系统完整的全局相图结构以及全参数分支图。最后,我们把所得结果应用到一个生理学的模型上,并讨论了周期扰动下的共振现象。