分数阶方程在物理,工程,金融等领域及环境问题的研究方面得到广泛的运用,本文把分数阶方程应用到金融中去,得到若干结果。Black-Scholes-Merton期权模型作为一种金融工具,在期权定价中显示出强大的生命力。但是它仍然存在理论缺陷且与实际的观测并不一致比如,非正态、非独立、非线性等,这种理论缺陷导致在金融市场中期权理论价格要低于实际市场价格。为改变这种状况,引进分数阶方程到期权中来,以试图达到市场公正的理想预期。本文主要引入分形中知识,导出时间分数阶Black-Scholes-Merton期权定价公式,结果显示,改进后的公式所得期权价格要优于Black-Scholes-Merton期权定价公式价格;其次,为解决股票价格在小时间段内出现较大跳跃,引入lévy分布,但仅求得此公式的数值解,且得解条件是苛刻的。在第一章中,主要介绍了文章的研究背景与相关的预备知识。分别介绍了期权及期权定价公式、分数阶方程国内外研究状况,再者主要讲述了分数阶方程的有关定义、性质和分形的部分内容。在第二章中,引入分形几何中传输系统,把期权价格视为分形传输系统,建立一个流量与速率的关系式,导出分形结构与期权扩散过程的清晰关联。从这一关系式出发,引出时间分数阶R-L微分方程。运用分数阶方程基本求解方法,如laplace变换、分数阶微积分共轭算子理论、常数阶偏微分算子理论,得到这个时间分数阶微分方程解析解。结果显示,改进后的Black-Scholes-Merton期权定价公式所得出的期权价格与实际期权价格的误差相对要小。这说明改进后的期权定价公式有实际意义。在第三章中,首先用Grunwald公式离散分数阶导数,从而建立空间分数阶对流-扩散方程显、隐式差分格式,然后证明这些格式是稳定的,结果表明,要求得数值解,条件是苛刻的。其步骤是,从lévy分布入手,引入lévy分布中判断时间独立变量有非独立、稳定增值的充分必要条件,然后,得股票价格的一个简单解,随之运用laplace变换及前面所得解改变Black-Scholes期权定价公式,进而求数值解。意义在于从lévy分布的角度入手,深入研究Black-Scholes模型。在第四章中,对进一步工作提出一些想法,希望同时从时间-空间两方面入手,对Black-Scholes-Merton期权定价公式更好的改进。