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Boussinesq方程或Boussinesq近似在流体力学、大气动力学、海洋学都有着广泛的应用的,其在超平面{t=0}(包含或等于)R<4>上的Cauchy问题的适定与否在理论研究和实际应用上都有着至关重要的作用.然而关于Boussinesq方程的初值问题C(k≥1)的适定性无论在国内还是在国外都少有重要的结论.裘国永在《Boussinesq方程组解的存在唯一性和Fourier谱方法的误差估计》研究了Boussinesq方程组.本文将用以拓扑学和Ehresmann空间为基础的分层理论在C(k≥1)函数类中对Boussinesq方程进行分析.本文研究的是一类简化的Boussinesq方程,研究这个方程的主要目的,是检验当在z方向存在耗散,并且是准静力平衡和在绝热的条件下,此方程的稳定性和各种主要初、边值问题的适定性.这不仅对研究大气运动的数学模型有着理论与实际意义,而且对大气动力学中的偏微分方程的稳定性及初、边值问题适定性的研究有着重要的参考价值.对于这一类二阶拟线性方程,我们将其作为二阶Ehresmann空间J<2>(R<4>,R<5>)的子集,在不同阶数的Ehresmann空间之间建立起一种投影和映射关系,由此得到所论方程的准本方程,在此基础上求出本方程.在确定本方程的过程中,可以反映出方程的0-简单性.然后通过典则分层,给出方程的初、边值问题的局部的解空间构造.从而,一系列人们关心的问题,如初值问题适定的充要条件;存在C(k≥1)形式解的必要条件等等,将得到解决.本文得到了简化的Boussinesq方程以下的结果:(1)求出了所论方程的准本方程,本方程;(2)得到所论方程稳定性的结论;(3)得到所论方程初值问题的解空间构造;(4)对适定的问题,给出所论方程的解析解的计算方法,并给出了例证;(5)对若干不适定的问题,给出了方程的形式解;(6)给出存在C(k≥1)形式解的必要条件.