船舶稳性与海上生命财产的安全性密切相关。船舶在恶劣海况下抵御倾覆的稳性是船舶工程师在船舶设计阶段所考虑的最基本要求之一。然而，目前对于船舶在随机海浪上的倾覆的机理并未透彻理解，其主要困难来自两方面：大幅横摇的非线性以及波浪激励的随机性。许多满足现有稳性规范的船舶在恶劣海况下失事，暴露出了现有稳性规范的不足。因此，需要在船舶稳性分析中考虑随机海浪下的横摇问题，从而促进新的稳性准则的制定。本文通过对船舶非线性横摇运动进行分析，计及非线性阻尼、非线性复原力矩和波浪激励的随机性，建立了船舶横摇运动的非线性微分方程。时域方法是处理这一类非线性问题的有效方法。同时，考虑到海浪的随机性，船舶倾覆是一个随机事件，可以用随机过程理论研究这一随机事件。船舶倾覆是一个不可恢复的过程，是一个典型的首次通过问题，可以运用首次通过理论来研究船舶倾覆问题。当激励为一个白噪声或过滤白噪声时，动态系统的响应是一个马尔科夫过程。基于马尔科夫扩散过程理论，动态系统的响应(如船舶横摇运动的转移概率密度)可以通过求解Fokker-Planck方程获得。而Fokker-Planck方程的解析解仅存在于少数非线性随机系统。路径积分法已经证明是一种有效求解Fokker-Planck方程的数值方法，并且具有较高的数值精度。本文采用路径积分法在时间域内求解二维Fokker-Planck方程，并与相关算例的解析解和数值解进行对比，验证了该方法的合理性。研究了白噪声激励下的随时间演变的船舶横摇运动的转移概率密度。运用首次通过理论，求得船舶倾覆前时间的概率分布。研究了外部激励、横摇阻尼和非线性复原力矩对船舶横摇运动转移概率密度与首次通过时间的影响。引入形状滤波器，将实际海浪序列表示为过滤白噪声。在时间域内求解相应的四维Fokker-Planck方程，得到随时间演变的船舶横摇运动的转移概率密度，结合首次通过理论，求得随机海浪下正浮和侧倾船舶横摇倾覆概率随时间的演变过程。采用数值方法在时域内对船舶横摇运动微分方程进行积分，模拟了船舶横摇运动响应。研究了一实船的安全池破损情况，得到了船舶生存概率。分析了不同有义波高、航速下的生存概率的变化。研究表明，本文的方法能运用于随机海浪下的船舶非线性横摇与倾覆研究，从而为船舶设计和稳性衡准提供相关的参考。