【摘 要】
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本文主要研究具有时间能量密度和压力的Friedmann-Robertson-Walker（FRW）宇宙学中出现的Einstein-Friedmann动力学方程（简称Friedmann方程）周期解的存在性和稳定性.全文共分为四章.第一章主要介绍Friedmann方程的背景和研究意义,其数学背景主要涉及二阶奇异微分方程周期解存在性和稳定性的研究进展,并简单陈述了本文的主要内容.第二章主要研究Fried
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本文主要研究具有时间能量密度和压力的Friedmann-Robertson-Walker（FRW）宇宙学中出现的Einstein-Friedmann动力学方程（简称Friedmann方程）周期解的存在性和稳定性.全文共分为四章.第一章主要介绍Friedmann方程的背景和研究意义,其数学背景主要涉及二阶奇异微分方程周期解存在性和稳定性的研究进展,并简单陈述了本文的主要内容.第二章主要研究Friedmann方程周期解的存在性.本章分两种情况讨论:当6)＞0时,利用常序上下解方法,证明Friedmann方程至少存在一个正-周期解.同时利用反证法得到了周期解不存在时的条件.当6)＜0时,在不同的条件下,得到两种不同的存在性结果.第一个结果是利用反序上下解方法,证明Friedmann方程至少存在一个正-周期解.第二个结果是应用延拓定理相关知识,证明Friedmann方程至少存在一个正-周期解.同时进一步加强限制条件,证明得到的周期解的唯一性和椭圆性.第三章重点研究Friedmann方程周期解的Lyapunov稳定性.对应于周期解的存在性结果,当6)＞0时,利用变分方程证明存在的周期解是双曲的,因此是不稳定的.当6)＜0时,得到两种不同的稳定性结果.第一个结果是应用三阶近似方法相关知识和Moser扭转定理,证明存在的周期解是扭转的,从而是Lyapunov稳定的.第二个结果是通过计算第一扭转系数不等于0,说明周期解是扭转的,从而在Lyapunov意义下是稳定的.最后第四章对全文进行了总结,并针对非线性奇异微分方程的稳定性问题和三阶近似方法的应用,进行了进一步的展望和思考.
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