石墨烯是一种由碳原子构成的二维材料。2004年,Geim和Novoselov首次从实验上成功制备出单层的石墨烯,这一突破掀起了对石墨烯电子性质研究的高潮。石墨烯是一种零带隙半导体,其低能电子具有线性的色散关系,而且可以用一个无质量的Dirac方程描述。因此,石墨烯表现出很多不同于常规半导体材料的电子性质,如弱反局域化效应、Klein佯谬和半整数的量子Hall效应等。作为一种典型的Dirac费米子材料,石墨烯可以模拟在真空中难以观察到的量子相对论现象,这对量子电动力学的研究有重要的意义。除了石墨烯之外,还可能存在其它的Dirac费米子材料,如石墨炔。石墨炔也是由碳原子构成的二维材料,但其中含有碳碳三键,即炔键。石墨炔有多种不同的结构,其中有些结构中的低能电子也是无质量的Dirac费米子,而且还表现出一些其它的特征,如Fermi速度的各向异性等。石墨烯和石墨炔这两种Dirac费米子材料都是碳材料,实际上Dirac费米子还可能存在于其它材料如拓扑绝缘体中。拓扑绝缘体存在体带隙,但在体带隙中会出现受拓扑保护的表面态或边缘态。二维拓扑绝缘体也称为量子自旋Hall绝缘体,其边缘上存在一对自旋和动量都相反的一维态,这种自旋与动量的捆绑特性称为螺旋性,是Dirac费米子的典型特征。三维拓扑绝缘体的表面态也遵循无质量的Dirac方程,但与石墨烯不同,在三维拓扑绝缘体的一个表面上必存在奇数个Dirac圆锥。这种非简并的Dirac费米子也叫做Weyl费米子。Dirac费米子材料因其独特的电子性质,在量子信息、量子计算、微电子学等领域有广泛的应用前景。研究固体材料的电子性质都需要从体系的Hamilton量出发,而固体材料的Hamilton量主要有两种表现形式:分立格点化模型和连续模型。紧束缚模型是一种常见的分立格点化模型,其基本思想是以原子轨道波函数为基函数来表征体系的电子态。另外,分立格点化模型也可以通过将连续模型在Brillouin区某点附近作展开获得。在基于分立格点化模型的数值计算中,体系的Hamilton量总是可以用一个有限大小的矩阵表示,通过求这个矩阵的本征值或者求解体系的Green函数就可以获得体系的能带结构、电子态密度和电导率等。分立格点化模型可以将不同类型的散射体方便地纳入体系的Hamilton量中,而且可以通过数值计算获得精度很高的结果。连续模型的Hamilton量往往是从体系Fermi能级附近的电子态出发,用k·p方法获得的。连续模型的优点是,它通常可以给出解析的结果,有助于直观地理解物理现象、建立清晰的物理图像。在本论文中,我们分别用这两种模型研究了几种不同的Dirac费米子材料的电子结构及量子输运性质。本论文的研究内容主要分为以下四个部分:首先,我们建立了一个简单实用的紧束缚模型来描述四种典型石墨炔的低能电子性质。通过第一性原理的计算可知,这几种石墨炔Fermi能级附近的电子态主要由碳原子的pz轨道贡献。因此,我们可以建立一个仅包含pz轨道的紧束缚模型。通过对石墨炔晶格对称性的分析,我们在这几种石墨炔的紧束缚模型中至多设定三个参数,然后通过与密度泛函的能带结果拟合确定所有参数的值。与第一性原理能带结果的对比显示,我们建立的紧束缚模型能够有效地描述这几种石墨炔的低能电子性质。另外,我们还在低能极限条件下,用重整化方法对石墨炔的晶格进行了约化,并得出关于它们能带结构的解析结果,尤其是解析地确定了这几种结构的Dirac点在Brillouin区中的位置。最后,我们用Lanczos迭代法计算了这几种石墨炔在它们原胞中不同原子上的投影态密度,并讨论了van Hove奇点与能带中鞍点的对应关系等细节问题。总之,我们所建立的紧束缚模型能够定量地描述几种典型石墨炔的低能电子结构,并将为进一步研究关于石墨炔的其它问题如电子输运性质、纳米结构和光学过程等提供一种简单且有效的途径。第二,我们用连续模型研究了电子隧穿石墨烯晶格中多条线缺陷时的透射几率谱。我们所研究的线缺陷是一种以两个五边环和一个八边环为基本重复单元的线缺陷结构,这种结构已经可以在实验中制备。从紧束缚模型出发,可以建立石墨烯的Dirac方程在这种线缺陷处的连接条件。如果在石墨烯中周期性地平行嵌入线缺陷,可以形成一种超晶格结构。我们利用Dirac方程及其在线缺陷处的连接条件推导了这种超晶格结构的能量本征方程及本征波函数的解析表达式,并在此基础上计算了电子隧穿石墨烯中多条线缺陷时的透射几率谱。我们发现,线缺陷的存在导致了谷极化的电子隧穿几率谱,而且由于线缺陷引入的矢量势破坏了石墨烯电子的手征性,我们在这个体系中观察不到Klein佯谬。但是,电子以其它角度入射时可能发生共振隧穿,隧穿的角度依赖于入射电子的能量和相邻线缺陷之间的距离。值得注意的是,在一定入射电子的能量范围内,输运谱中会出现全反射的临界角,这个临界角也依赖于电子的入射能量和相邻线缺陷之间的距离。我们利用超晶格的本征方程推导了临界角满足的方程。此外,我们还研究了在散射区中存在方势垒时的电子隧穿谱。我们发现,发生共振隧穿的角度和全反射临界角都敏感地依赖于势垒的高度,而势垒在实验中可以通过门电压来模拟。因此,可以通过调节门电压来调节存在线缺陷的石墨烯晶格中谷极化的电子隧穿性质。第三,我们用核多项式展开法研究了随机掺入自旋轨道耦合杂质的石墨烯的量子输运性质。我们在紧束缚模型的基础上利用量子输运理论中的Kubo-Bastin公式计算了体系的电导率张量。数值计算的结果显示,随机分布的自旋轨道耦合杂质能在石墨烯中建立非平庸的量子自旋Hall态。在石墨烯中可能存在两种不同的打开带隙的机制,即自旋轨道耦合和子晶格交错势,前者打开一个非平庸带隙而后者则不然。因此,这两种打开带隙的机制是相互竞争的,所以我们可以通过调节自旋轨道耦合杂质的浓度使石墨烯实现在拓扑平庸态和拓扑非平庸态之间的量子相变。我们还进一步计算了随机掺入自旋轨道耦合杂质的石墨烯在外磁场中的电导率张量。结果表明,在外磁场中,体系会同时展现出量子Hall效应和量子自旋Hall效应的特点。具体来说,在由自旋轨道耦合杂质打开的带隙中,总的Hall电导率为零,但自旋Hall电导率呈现出量子平台;在带隙之外,自旋Hall电导率几乎为零,总的Hall电导率则呈现出半整数的量子Hall平台。作为对比,我们还用连续模型计算了随机掺入自旋轨道耦合杂质的石墨烯的电导率张量,并在自洽Born近似下推导了体系态密度和电导率张量的解析表达式。结果表明,体系的态密度谱中也出现了非平庸的带隙,但是由于自洽Born近似忽略了高阶的散射过程,所以这个带隙的大小与紧束缚模型中给出的不同。在弱散射极限下,自洽Born近似可以给出合理的结果。在连续模型下,用Kubo-Stˇreda公式计算出的电导率谱也在带隙中呈现出量子化的自旋Hall平台。我们还在连续模型下用半经典的Boltzmann理论计算了体系的电导率张量。结果表明,Boltzmann理论在带隙中给出一个常数的对角电导率和非量子化的自旋Hall电导率,因此,Boltzmann理论不适于研究由自旋轨道耦合杂质引发的量子自旋Hall态。最后,我们用三维拓扑绝缘体的连续模型研究了置于外电场和磁场中的三维拓扑绝缘体量子线的电子结构。我们把波函数在一个选定的表象中展开,然后用数值方法计算出体系的能带结构。结果表明,在超薄的拓扑绝缘体薄膜中,上、下表面电子态之间的耦合会打开Landau能级的简并,导致整数量子Hall效应的发生。适当厚度的薄膜可使电子型和空穴型的n=0 Landau能级发生反转,导致赝自旋Hall效应。在较厚的薄膜中,可以用一个垂直于薄膜的电场来打开Landau能级之间的简并,形成整数量子Hall态。由于体系不具有电子空穴对称性,空穴型Landau能级的边缘态具有峰状的色散关系,这破坏了边缘态的手征性,从而导致了ν<-1量子Hall平台的消失。另外,我们还研究了倾斜磁场中截面为正方形的拓扑绝缘体量子线的电子结构。结果表明,倾斜磁场中的量子线在其四个表面上都会形成明确的Landau能级。这时,边缘态局域在正方形的顶角处。当磁场角度适当时,在不同表面的Landau能级的公共边缘处会出现具有线性色散关系的一维态,这个一维态表现出一维Weyl准粒子的特征,而且它的速度和Weyl节点的能量可以通过在一定角度范围内旋转磁场来调节。