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小波标架理论是小波分析中比较活跃的研究课题之一.关于全空间(L2((R)))小波标架,1993年J.J.Benedetto和S.Li提出了标架多分辨分析(FMRA)的概念,为小波标架的构造提供了一个一般的方法,促使了后来FMRA小波标架研究的很大进展.关于子空间小波标架,X.Dai,Y.Diao,Q.Gu与D.Han在2002年提出了约化子空间的概念,并在此背景下研究了一类特殊标架小波的构造,这一工作也引起了不少的后续研究.本文在约化子空间背景下研究标架多分辨分析的嵌入定理.
2005年,H.O.Kim,R.Y.Kim与J.K.Lim通过引入中心空间谱的概念,证明了L2((R))中的一个标架多分辨分析一定可以嵌入到某个多分辨分析中,并研究了嵌入的唯一性等问题.本文通过引入细分标架函数的谱,在一般约化子空间的背景下研究了这一问题,得到如下结果;
定理3.2.2给定d阶伸缩矩阵M及L2((R)d)的一个约化子空间FL2(Ω).设(S)d(c)Ω满足:(S)d2π(Z)d-同余于(T)d且(S)d(c)Mt(S)d.则对FL2(Ω)中任意一个与M相关的FMRA{Vj}j∈(Z),存在一个与M相关的正交MRA{Vj}j∈(Z),使得对任意J∈(Z),有Vj(c)Vj.
定理3.2.6设M是一满足|det M|=2的2阶伸缩矩阵,则对L2((R)2)中任意一个与M相关的FMRA{Vj}j∈(Z),存在一个与M相关的正交MRA{Vj}j∈(Z),使得对任意j∈(Z),有Vj(c)Vj.
定理4.2.1给定d阶伸缩矩阵M及一个M-细分的标准正交基函数g.设|{x∈(T)d:mg(x)=0}|=0,则不存在M-细分的标架函数f,使得V(f)(c≠)V(g).
定理4.2.2给定d阶伸缩矩阵M及L2((R)d)的一个约化子空间FL2(Ω).设{Vj:j∈(Z)}是FL2(Ω)中一个与M相关的MRA,(ψ)是其一尺度函数,其符号为m(ψ).若|{x∈(T)d:m(ψ)(x)=0}|=0,则不存在任何一个不同于{Vj:j∈(Z)}的FMRA{Vj:j∈(Z)}使得对任意j∈(Z),有Vj(c)Vj.