【摘 要】
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随着近代物理和应用数学的不断发展,哈密顿系统理论已日益引起人们的关注,并越来越多的应用于物理及其它工程技术学科中.哈密顿算子的扩张理论作为哈密顿系统理论一个重要分支,也一直颇受物理学家及其他工程学家的关注,是解决各类问题的一个重要工具.对于哈密顿算子的自伴扩张问题,已经得到了许多有益的方法和结论,包括线性哈密顿系统的GKN定理,用Weyl解的方法给出的奇异哈密顿系统的最小算子自伴扩张的描述,带有一
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随着近代物理和应用数学的不断发展,哈密顿系统理论已日益引起人们的关注,并越来越多的应用于物理及其它工程技术学科中.哈密顿算子的扩张理论作为哈密顿系统理论一个重要分支,也一直颇受物理学家及其他工程学家的关注,是解决各类问题的一个重要工具.对于哈密顿算子的自伴扩张问题,已经得到了许多有益的方法和结论,包括线性哈密顿系统的GKN定理,用Weyl解的方法给出的奇异哈密顿系统的最小算子自伴扩张的描述,带有一个奇异点的线性哈密顿系统的自伴扩张及带有两个奇异点的线性哈密顿系统的自伴扩张等等.但是将辛几何的方法运用到线性哈密顿算子的扩张理论中,却迄今未见有系统研究.本文主要讨论了正则和奇异线性哈密顿算子的对称扩张的辛几何刻画及正则线性哈密顿算子自伴域的辛几何刻画.利用最大与最小哈密顿算子的定义域构造了一个辛空间,并用辛空间中的Lagrangian子流形刻画了哈密顿算子的对称扩张问题及其自伴域的分类问题,从辛几何的角度研究了哈密顿系统上微分算子的对称扩张及自伴域的分类问题.根据内容本文共分为三章.第一章是绪论.第二章,主要从辛几何的角度,研究由正则线性哈密顿系统所生成的最小算子的对称扩张问题.利用最大与最小哈密顿算子定义域,构造了一个辛空间,用辛空间上的Lagrangian子流形来刻画最小哈密顿算子的对称扩张并对自伴域进行了分类.给出最小算子对称扩张与其Lagrangian子流形之间的对应关系,并给出其扩张为对称扩张的充要条件.最后给出了自伴域的辛几何刻画.第三章,主要从辛几何的角度,研究由奇异线性哈密顿系统所生成的最小算子的对称扩张问题.利用最大与最小哈密顿算子定义域,构造了一个辛空间,用辛空间上的Lagrangian子流形来刻画最小哈密顿算子的对称扩张.给出最小算子对称扩张与其Lagrangian子流形之间的对应关系,并给出了其扩张为对称扩张的充分必要条件.
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