【摘 要】
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有限差分方法是一种重要的数值计算方法,其主要思想是利用有限差分逼近导数.本文主要通过有限差分方法求解两类椭圆型偏微分方程,分别是定常变系数对流扩散方程和椭圆界面方程.对流扩散方程描述了物质的质量,能量,热量的传输过程,是一类重要的偏微分方程.本文提出积分因子法,将定常的变系数对流扩散方程转化为自伴型的变系数扩散方程.然后构造了两种不同的四阶数值格式求解这个变系数扩散方程,一种是通过理查德森外推方法
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有限差分方法是一种重要的数值计算方法,其主要思想是利用有限差分逼近导数.本文主要通过有限差分方法求解两类椭圆型偏微分方程,分别是定常变系数对流扩散方程和椭圆界面方程.对流扩散方程描述了物质的质量,能量,热量的传输过程,是一类重要的偏微分方程.本文提出积分因子法,将定常的变系数对流扩散方程转化为自伴型的变系数扩散方程.然后构造了两种不同的四阶数值格式求解这个变系数扩散方程,一种是通过理查德森外推方法得到四阶精度的数值解,另一种是采用紧致差分格式得到四阶精度的数值解.最后,数值结果验证了这两种格式的收敛性.界面问题可以模拟很多实际自然现象和实际问题,其中刻画此类问题的偏微分方程包含不连续的系数和解以及带有奇异源项.因此,无论从理论上还是数值上解决界面问题都具有重要的意义和挑战性.本文对椭圆界面问题提出了新的算法,使解的梯度能够达到二阶精度.浸入界面法求解尖锐界面问题得到的数值解具有二阶精度,但数值解的梯度（一阶导数）通常被认为只有一阶精度.基于浸入界面法的思想,可通过界面两侧解和跳跃条件的信息来计算网格点和界面点上的梯度,使其达到二阶精度.理论结果表明,一维界面问题解的梯度具有二阶收敛性,二维问题有接近二阶（除|log h|因子外）的收敛性.一维直角坐标系、二维径向对称极坐标系、三维轴对称球坐标系和二维直角坐标系下的数值结果验证了数值方法的有效性和理论分析的正确性.
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