有限体积(元)法自上世纪七十年代末被李荣华教授以广义差分法的名称提出以来,研究成果层出不穷.该方法涉及到两套网格剖分和与之对应的两个函数空间:原始网格剖分上的试探函数空间,对偶网格剖分上的分片常数或分片低次多项式空间,即检验函数空间.本文取不完全双二次有限元空间作为试探函数空间.所谓的不完全双二次元是指:限制在一个原始单元上的每个型值点处的型函数是一个不完全双二次多项式.它的型值定义在四边形单元的四个顶点和四边中点上.本文研究了不完全双二次元,构造了新的数值方法——不完全双二次有限体积元法.试探函数空间取等参的不完全双二次有限元空间,检验函数空间取定义在对偶单元上的分片常数函数空间.构造了四种不同的对偶网格剖分,前两种是容易想到的非退化的对偶网格剖分,后两种是退化的对偶网格剖分.针对四种不同的网格分别建立了相应的有限体积格式,并给出了稳定性分析和收敛性分析.当对偶网格非退化时,给出了格式稳定的网格比范围;当对偶网格退化时,分析格式的稳定性条件,发现此时双线性形式限制在一个单元上对应的矩阵的最小特征值接近于0甚至小于0,说明这种格式的双线性形式在一个单元上不正定.进而证明了基于非退化格式的不完全双二次有限体积元法按H~1模度量为2阶收敛.最后本文使用所构造的格式求解Poisson方程的Dirichlet问题.数值结果表明,前两种格式的数值解按H~1模度量达到了最佳的2阶收敛;后两种格式,其数值解按H~1模度量为1阶收敛.这些结果进一步验证了理论分析的正确性。