本文研究了一类延时微分方程，即对具有单延时和多延时的线性和非线性问题的有限元方法及其超收敛性，进行了系统的研究。有限元方法的类型，本文研究了连续有限元和间断有限元。本文主要结果包括以下4方面：1．利用单元正交逼近校正技巧，研究了具有一个延时项的线性延时微分方程的连续有限元方法及其超收敛性，并推导了其有限元重构导数的强超收敛性。随后推导了多延时线性延时微分方程的连续有限元方法，利用单元正交逼近校正技巧结合数学归纳法证明了它的超收敛性。最后给出了三个例子进行了数值实验，数值验证了上述的理论结果。2．对于非线性延时微分方程，首先讨论了单延时情形的连续有限元法及其超收敛性，然后推广到多延时情形的连续有限元法及其超收敛性。最后给出了两个例子进行了数值实验，数值验证了上述的理论结果。3．对于具有单延时项的延时微分方程问题的间断有限元方法，首先讨论线性情形的有限元及其超收敛性，然后将它们推广到非线性情形。最后分别给出了例子进行了线性和非线性问题的数值实验，数值验证了上述的理论结果。4．最后本文简单地讨论了二阶延时微分方程连续有限元，间断有限元的计算格式。