本文的主要工作包含两部分。第一部分关于整数环Z上的同余式2n-2≡1 mod n的解。加拿大数学家Richard．K．Guy在他的名著《Unsolved Problems in Number Theory》的第二版（1994）和第三版（2004）中都提到问题：同余式2n-2≡1 mod n是否有个位数字为9的解?本文先表列出我们用计算机在区间[3，3037000499]上搜索得到同余式2n-2≡1 mod n的所有的解，共有31个，其中只有一个解的个位数字是9，它是三个素因子之积。然后根据张明志给出的关于这个同余式解的一个充要条件，运用试除法、Pollard ρ、Pollard p-1等整数分解方法找到另一个个位数字是9的解，一个12位数，两个素因子之积。 第二部分是整数环Z的扩环上的同余式在素性测定中的应用。张振祥[Mathematics of Computation，71（2002），1699-1734．MR 2003f：11191]给出了单参数二次基概（伪）素数和强概（伪）素数的定义。设u（＞2）∈Z，并记Tu≡T mod（T2-uT+1）。则同余式Tun-ε≡1 mod n的正整数解n就称为对基Tu的单参数二次基概素数，简记prp（Tu），这里ε=（（u2-4）／n）∈{1，-1}，符号（*／*）均表示Jacobi符号。而同余式Tuq≡1 mod n或对某个r（0≤r＜k-1），同余式Tu2rq≡-1 mod n的正整数解n就称为对基Tu的单参数二次基强概素数，简记sprp（Tu），这里n-ε=2kq，q为奇数。显然，素数都是（强）概素数。（强）概素数中的合数称为（强）伪素数，记作psp（Tu）（spsp（Tu））。另外张还以单参数二次基概素数和强概素数为基础给出了单参数二次基概率素性测试（OPQBT），即对一个非平方数测试其是否为sprp（Tu）和sprp（Tν），这里（（u2-4）／n）=-（（v2-4）／n）。本文首先定义了ξm=min{n∶n是spsp（Tu），u=3，…，m+2}，称为通过前m个基的最小的单参数二次基强伪素数，然后给出了单参数二次基强伪素数的一些性质，并通过这些性质算出了ξi，i=1，2，3，4，5。若我们称对一个基Tu检测n是否为sprp（Tu）为一次测试，则本文使得在给定范围内该测试变为确定性测试，即对n＜ξm，最多只需做m次测试就可判断n的素性。