Hilbert—Huang变换（Hilbert—Huang Transform，HHT）由美国工程院院士Huang及其合作者提出来的一种新的处理非平稳信号的方法，该方法的主要贡献是本征模态函数（Intrinsic Mode Function，IMF）概念的提出和经验模式分解（Empirical Mode Decomposition，EMD）算法的引入。通过EMD算法，他们期望将任何复杂信号分解为有限个IMF之和且对每个IMF作Hilbert变换就可以得到各自具有良好物理意义的瞬时频率。这个方法已经被成功应用于海洋科学、地震勘探、机械故障诊断、生物医学等诸多领域，并引起了国际理论界一些专家的广泛关注与研究。因此从理论上建立起这个算法的数学基础是一件很迫切和很有意义的事情，本文对HHT和时频分析中若干理论问题进行了有益的研究和探索，其主要工作包括如下三个方面： 1.我们研究了Hilbert—Huang变换中的一个重要等式H（fg）=fHg成立的条件。1963年，Bedrosian对其进行了研究，并得到了一个经典的充分条件，为了纪念他，这个等式被称为Bedrosian等式。随后也有一些学者对其进行了进一步的探讨，得到了一些有意义的结论。我们首先对f，g∈L2（R）的情况给予了研究，在频域上给出了Bedrosian等式成立的若干充分必要条件，这些结果推广了J.Brown（1974，1986）以及Xu（2006）等人的结论。接着，考虑到周期函数在实际应运用中的重要性，我们也研究了含周期函数的Bedrosian等式成立的条件。最后，我们利用解析信号与Hardy空间中函数的边值关系，研究了Bedrosian等式在更一般情况下成立的条件，在时间域上给出了Bedrosian等式成立的一个新的刻画。特别地，当g对应的解析信号与有限Blaschke积的边值相关时，满足Bedrosian等式的f能明确表示出来。 2.EMD算法是把一个复杂信号分解为一系列IMF函数之和，且希望分解后的信号具有良好的Hilbert变换的性质。基于解析信号的物理属性，我们考虑IMF的数学模型如下，即信号x（t）=p（t）cosθ（t）满足：为了找到满足上述条件的信号，我们首先引入了规范化的Hilbert交换，这样对于L∞（R）中的函数，其Hilbert变换就可以得到很好的定义。然后，我们发现当eiθ（t）为有限Blaschke积的边值时，对应的p（t）∈Lp（R），1≤p≤∞，为满足一定条件的有理多项式，这样就构造出了一大簇函数满足上面的等式。特别地，我们能从这簇函数构造出L2（R）中的正交基，使得其中的每一个元素不仅具有非负的瞬时频率，而且能够分解为两个满足Bedrosian等式的函数之积。 3.在时频分析和HHT中，我们总希望信号通过Hilbert交换求得瞬时频率是非负的，但事实上，这个结论在很多情况下不成立，即使是经过EMD分解后得到的信号。因此，我们根据周期解析信号与Hardy空间的函数的边值的关系，研究了周期解析信号的结构特征，发现解析信号是由两部分构成的，一部分与其幅度相关，另一部分与内函数的边值相关。在此基础上，我们进一步分析了每一部分的瞬时频率的性质，发现造成解析信号出现负值的原因与幅度有关，并指出解析信号可以出现任意给定的负频率结构。最后，我们给出了一类解析信号满足瞬时频率为正的条件。