【摘 要】
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在这篇论文中,将考虑Rn空间上的自仿测度的谱和非谱问题.这个问题源自于1974年的Fuglede猜测和Jorgensen与Pedersen对分形谱测度存在性的研究.令人感兴趣的是怎么样的测度是谱测度,而对于没有指数正交基的测度,一个主要问题是估计L2（μ）空问中正交指数的个数.由一个扩张矩阵M∈Mn（Z）和一个有限数字集D∈Zn所决定自仿测度μM,D的支撑是迭代函数系{Φd（x）=M-1（x+d）
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在这篇论文中,将考虑Rn空间上的自仿测度的谱和非谱问题.这个问题源自于1974年的Fuglede猜测和Jorgensen与Pedersen对分形谱测度存在性的研究.令人感兴趣的是怎么样的测度是谱测度,而对于没有指数正交基的测度,一个主要问题是估计L2（μ）空问中正交指数的个数.由一个扩张矩阵M∈Mn（Z）和一个有限数字集D∈Zn所决定自仿测度μM,D的支撑是迭代函数系{Φd（x）=M-1（x+d）}d∈D的吸引子（或者不变集）.这个自仿测度μM,D由扩张矩阵M和有限数字集D惟一决定.μM,D的谱和非谱问题,包括谱-tiling问题,在最近一些年,引起了数学家们极大的关注.Rn空间上自仿测度的谱问题源于Jorgensen和Pedersen的研究以及谱猜测.Rn空间上自仿测度的非谱问题源于Li的非谱猜测.本文主要考虑二元素数字集,三元素数字集,四元素数字集和直和形式数字集的自仿测度μM,D的谱性和非谱性.需要指出的是目前已有的关于谱和非谱问题的最好的结果是研究维数小于等于三维的情形.相对于三维情况,我们所得的结论推广了目前最好的结果,并且回答了谱和非谱猜测在高维的部分开问题.同时,本文中给出的一些方法对解决此类问题也有一定的借鉴作用.论文共分六章.第一章首先介绍了自仿测度的谱和非谱问题的发展背景和意义.其次给出了自仿测度,谱测度,和谐对的定义以及一些关于自仿测度的谱和非谱问题的结论.最后介绍了本文的主要工作.第二章研究了Rn空间上二元素数字集的自仿测度μM,D的谱和非谱问题.第一节考虑了零集Z（μM,D）的一般刻画,并给出了零集Z（μM,D）的内部关系.在第二节,关于非谱猜测,估计了L2（μM,D）空间中正交指数函数的个数.在第三节,关于谱猜测,出示了L2（μM,D）空间中拥有无限正交指数函数类,并且其中一类形成了空间中的一组指数正交基.即μM,D是一个谱测度.该谱测度不需要和谐对条件.这里应该指出在Rn空间中,二元素数字集的自仿测度μM,D是高维的Bernoulli卷积（或者Bernoulli测度）.第四节首先列举了一些开问题,然后给出了本章关于自仿测度的谱和非谱问题的主要研究方法在维数n>3时的应用.第三章研究了Rn空间上三元素数字集的自仿测度μM,D的谱和非谱问题.第一节考虑了零集Z（μM,D）的表示.第二节获得了零集Z（μM,D）的内部关系和一些性质.在第三节,关于非谱猜想,估计了L2 （μM,D）空间中正交指数函数的个数.这提供了一些关于非谱猜测的证据支持.在第四节,关于谱猜测,出示了L2 （μM,D）空间中拥有一组指数正交基.即μM,D是一个谱测度.这提供了一些关于谱猜测的证据支持.第五节首先列举了一些开问题,然后给出了本章关于自仿测度的谱和非谱问题的主要研究方法在维数n>3时的应用.第四章研究了Rn空间上直和形式数字集的自仿测度μM,D的谱和非谱问题.基于第二章和第三章关于自仿测度的谱性和非谱性的研究,首先关于非谱猜测,估计了L2 （μM,D）空间中正交指数函数的个数.其次关于谱猜测,出示了L2 （μM,D）空间中拥有一组指数正交基.即μM,D是一个谱测度.最后一节首先列举了一些开问题,然后给出了本章关于自仿测度的谱和非谱问题的主要研究方法在维数n>3时的应用.第五章研究了Rn空间上有限元素数字集的自仿测度μM,D的谱和非谱问题.第一节给出了四元素数字集的自仿测度关于谱和非谱问题所有已知的结论.第二节考虑了一类有限数字集的自仿测度的谱和非谱性.在第三节,为了研究零集Z（μM,D）的内部关系,引入了矩阵分类的方法.第四节给出了有限正交指数函数类和无限正交指数函数类的一些充分条件.在第五节,关于非谱猜测,估计了广义三维Sierpinski垫上正交指数函数的个数.关于谱猜测,出示了L2（μM,D）空间中拥有一组指数正交基.即μM,D是一个谱测度.这提供了一些关于谱猜测和非谱猜测的证据支持.第六章列举了一些开问题.
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