【摘 要】
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本文,我们主要研究了两维具有旋转效应的随机欧拉流和由Hurst指标H∈（1/3,1/2）∪（1/2,1）的分数阶布朗运动驱动的一些随机偏微分方程的稳定性.同时证明了具有时滞的三维Navier-Stokes方程弱解的存在唯一性.首先,我们考虑的是二维旋转欧拉方程具有不同初始值条件的解的存在性与唯一性:白噪声的初值条件或L∞（T2）的初值条件.由具有旋转效应的三维Navier-Stokes方程以及β-
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本文,我们主要研究了两维具有旋转效应的随机欧拉流和由Hurst指标H∈（1/3,1/2）∪（1/2,1）的分数阶布朗运动驱动的一些随机偏微分方程的稳定性.同时证明了具有时滞的三维Navier-Stokes方程弱解的存在唯一性.首先,我们考虑的是二维旋转欧拉方程具有不同初始值条件的解的存在性与唯一性:白噪声的初值条件或L∞（T2）的初值条件.由具有旋转效应的三维Navier-Stokes方程以及β-平面近似得到两维旋转欧拉方程的涡量形式.通过克服旋转效应带来的困难,得到由布朗运动驱动的初值是L∞的解的存在性与唯一性并证明了当β趋于零时解的稳定性.考虑的是该方程具有初值是白噪声条件的解的适定性.推导由该方程确定的N维动力系统,并通过构造不同的辅助函数证明该N维动力系统的解的全局存在性.定义经验测度ωtN=1/（?）∑ξiδXiN（t）和空间C([0,T];H-1（T2）,并利用Prohorov定理和Skorokhod表示定理证明存在新的概率空间上解的存在性.其次,我们考虑了由Holder指数H ∈（1/3,1/2）的Holder连续路径驱动的随机格点方程解的局部指数稳定性.同时也证明了由指数H∈（1/2,1）的Holder连续路径驱动发展方程解的局部指数稳定性.通过构造映射并证明该映射具有不动点从而得到格点方程解的存在唯一性,再利用得到的解的估计和离散的Gronwall不等式证明解局部指数稳定性.对于发展方程,为了克服其无界线性算子A生成的半群S（t）在t=0时不是Holder连续的困难,我们通过假设初始条件具有较好的正则性,从而可以证明温和解u（t）∈Cβ（[0,T）;W 并在这个空间里建立解的局部指数稳定性.稳定性理论可以应用到由Hurst参数在（1/3,1/2）∪（1/2,1）的分数阶布朗运动驱动的一些随机微分方程或随机偏微分方程.最后,主要考虑的是随机三维不可压缩Navier-Stokes方程具有时滞的弱解存在性与唯一性.我们先研究的是具有时滞的三维随机Naiver-Stokes方程并证明弱解的局部存在性与唯一性.再利用Ito公式和修正的Gronwall不等式得到关于Galerkin近似系统的一致估计,并利用延拓的方法证明该方程弱解的全局存在性与唯一性.
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