【摘 要】
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本文主要研究了完备非紧黎曼流形上Lp(p>1)调和形式空间的维数问题.基于Bochner公式,通过对流形曲率的假设,运用截断函数法,散度定理,Sobolev不等式等得到了调和形式模长的积
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本文主要研究了完备非紧黎曼流形上Lp(p>1)调和形式空间的维数问题.基于Bochner公式,通过对流形曲率的假设,运用截断函数法,散度定理,Sobolev不等式等得到了调和形式模长的积分不等式.进一步结合Lp性质得到了Lp调和形式的消灭定理及有限性定理.主要内容如下:1.研究了满足加权Poincare不等式的完备非紧流形Mm上Lp p-调和r-形式.假设Mm的Weitzenbock曲率满足适当的下界条件,应用Bochner公式,通过运用截断函数法,散度定理,加权Poincare不等式及对Mm的Laplacian算子第一特征值λ1(M)的下界限制,得到了 p-调和r-形式(1≤m)模长|ω|的积分不等式,进而由Lp性质得到|w|=0,即Lp p-调和r-形式的消灭定理.作为推论,进一步得到黎曼流形中稳定超曲面上Lp调和形式的消灭定理.2.考虑球空间中完备非紧极小超曲面Mm上Lp调和1-形式.通过对Mm附加有限指数的假设,应用Sobolev不等式,截断函数,指标迭代等得到存在x0∈ Mm,r0∈ R,使得Lp调和1-形式模长在测地球Bxo(r0+1)上有相应不等式,进而结合Lp调和形式空间维数的估计不等式,得到了Mm上Lp调和1-形式的有限性定理.3.研究了球空间中完备非紧子流形Mm上Lp调和1-形式.假定Mm的全曲率(即无迹张量的Lm-模)或无迹张量的最大模函数有正上界,通过应用球空间中子流形Ricci曲率的估计不等式,对调和1-形式运用Bochner公式.进一步运用截断函数法,散度定理及Sobolev不等式,得到了 Mm上Lp调和1-形式的消灭定理.
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