【摘 要】
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设D是图Γ顶点集合的一个子集合,任取Γ的一个顶点v,如果存在唯一的顶点x∈D使得可与x之间的距离d(v,x)≤t,则称D为图Γ的完备t-码,完备1-码简称为完备码.完备码(也称作有效控制集或独立的完备控制集)是图论研究中的一个重要课题.其中Cayley图中的完备码更是在通信网络的设计和分析、资源的优化配置等方面起着至关重要的作用.本文的研究内容主要是探究有限群上Cayley图中完备码存在的条件,共
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设D是图Γ顶点集合的一个子集合,任取Γ的一个顶点v,如果存在唯一的顶点x∈D使得可与x之间的距离d（v,x）≤t,则称D为图Γ的完备t-码,完备1-码简称为完备码.完备码（也称作有效控制集或独立的完备控制集）是图论研究中的一个重要课题.其中Cayley图中的完备码更是在通信网络的设计和分析、资源的优化配置等方面起着至关重要的作用.本文的研究内容主要是探究有限群上Cayley图中完备码存在的条件,共分为三章,具体内容如下.第一章介绍了本文中用到的定义、符号和相关的定理,并综述了 Cayley图上的完备码的研究背景和进展.在第二章中,我们给出了Lee关于超立方体Qn存在完备码的等价条件的一个新的证明并把结果推广到了初等交换群的Cayley图中,证明了初等交换p-群Zpn（这里p是奇素数）的Cayley图有完备码当且仅当n=（pm-1）/2（这里m是自然数且n ≥ 2）,当且仅当它是完全图K2n+1的正则覆盖.在第三章中,我们首先给出了一些有限群的子群可作为Cayley图完备码的条件,并利用这些条件分别具体找出了广义四元数群、阶为2n+1的半二面体群以及拟二面体群上Cayley图中的所有子群完备码.如果Γ中的每个顶点恰好与D中一个点相邻,则称集合D为图Γ的完全完备码（也称为有效开控制集）.在第四章中,我们讨论了交换群上3度和4度Cayley图的完全完备码问题.其中,4.2节证明了交换群上3度Cayley图存在完全完备码当且仅当Cayley图同构于Mobius ladder M（n）或广义Petersen图GP（n,1）.在4.3节中,我们就Cayley子集的不同情况分类讨论了交换群上4度Cayley图存在完全完备码的充要条件.
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