上世纪二十年代,芬兰数学家R.Nevanlinna引进了亚纯函数的特征函数,并建立了两个基本定理,发表了他关于亚纯函数理论的文章,也就是后来的重要的数学理论Nevanlinna,理论[1],即复平面C上的亚纯函数值分布理论.这一理论是二十世纪最重大的数学成就之一,不仅奠定了现代亚纯函数理论的基础,而且对数学的许多分支的发展、交叉和融合产生了重大而深远的影响,特别是在复域中常微分方程大范围解析解的研究中.R.Nevanlinna利用他所创立的亚纯函数值分布理论,研究了确定一个亚纯函数所需要的条件,得到著名的Nevanlinna五值定理和Nevanlinna四值定理,从此拉开了亚纯函数唯一性理论研究的序幕.半个多世纪以来,国内外诸多数学家致力于此领域的研究,取得了一系列令人瞩目的成果.其中,仪洪勋教授做出的一系列富有创造性的成果(参见[4]),引起了国内外许多知名数学家的关注,有力地推动了亚纯函数唯一性理论的发展.随着Nevanlinna理论自身的不断发展,以它为主要研究工具的亚纯函数唯一性理论取得了蓬勃的发展(参见[2-5]),同时广泛的应用到复分析其他的领域中,如势理论,复微分及差分方程理论,多复变量理论,极小曲面理论等.　　 复差分方面的Nevanlinna理论是最近才确立的.其中,最关键的结果是差分对数导数引理,Halburd-Korhonen[14]和Chiang-Feng[15]给出了这个引理的两种表达形式.Halburd-Korhonen[16]在差分算子的基础上建立了Nevanlinna理论.Ishizaki和Yanagihara[17]研究了差分方程慢增长的解的性质,并且给出了在微分方程中著名的Wiman-Valiron理论的差分定理.Bergweiler和Langley[18,19]研究了慢增长的亚纯函数的差分算子的值分布论.同样Nevanlinna理论这一重要工具可以运用在复差分方程亚纯解方面的研究.起初,也即二十世纪的早期,Batchelder[6],N(o)rlund[7]和Whittaker[8]在这个方面做出了重大贡献.后来,Shimomura[9]和Yanagihara[10-12]利用Nevanlinna理论研究了非线性复差分方程的解.2007年,Halburd-Korhonen[13]证明了亚纯函数有穷级解的存在性是检测差分方程可解性的一个有力工具,激起了广泛的研究兴趣.　　 本论文主要介绍作者在杨连中教授的精心指导下,利用Nevanlinna理论就整函数及差分多项式的值分布问题所做的一些研究,得到了一些结果.全文共分为三章:　　 在第一章中,我们简单介绍了本文的研究背景,Nevanlinna基本理论中的常用记号,并叙述了亚纯函数唯一性理论中的一些基本概念和经典结果.　　 在第二章中,我们简单回忆了差分的对数导数引理,差分的Clunie引理.在此基础上,作者在整函数及其差分乘积的值分布方面做了一些研究,得到了如下结论:　　 定理1设f(z)是有穷级的超越整函数,α(z)是f(z)的一个小函数.当n≥2时,m∈N,则差分多项式f(z)n(f(z)m-1)f(z+c)-α(z)有无穷多个零点.其中,c是非零复数,n是正整数.　　 从Laine和C.C.Yang于2007年发表的差分多项式的值分布一文([20,Theorem1])和定理1,我们可以看出,定理1中的n可以是任意的正整数.鉴于此,我们得出了当n=1时,对应于定理1的一个结论:　　 定理2在定理1的条件下,当m≥3时,差分多项式f(z)(f(z)m-1),(z+c)-α(z)有无穷多零点.　　 在第三章中主要讨论了两个差分多项式分担一个公共小函数的唯一性问题,得到的主要结论如下:　　 定理3设f(z)和g(z)是两个有穷级的超越整函数,α(z)是关于f(z)和g(z)的小函数.令c是非零常数,m,n∈N.当n≥m+6时,且f(z)n(f(z)m-1)f(z+c)和g(z)n(g(z)m-1)g(z+c)分担α(z)CM,那么f(z)≡tg(z),这里tm=tn+1=1.　　 定理4在定理3的条件下,若n≥4m+12时,且差分多项式f(z)n(f(z)m-1)f(z+c)和g(z)n(g(z)m-1)g(z+c)分担α(z)IM,那么f(z)≡tg(z),其中tm=tn+1=1.