算子理论产生于二十世纪初，是泛函分析的一个重要部分。算子理论主要以各种函数空间上算子的性质作为研究对象，以Hilbert空间上的线性算子的有界性、紧性、Fredholm性质、谱性质、代数和几何的性质等为主要研究内容。不等式是二十世纪非常活跃的研究领域，长期以来不等式在各个领域都发挥着举足轻重的作用。算子不等式又是算子理论中一个非常具有吸引力的研究方向。近年来，国内外有很多的研究者在算子不等式这个研究领域做出了重要的贡献，如日本的Ando，印度的Bhatia，华人数学家蔡文端、李志光教授等。正由于算子相互之间的不可交换性，算子不等式的研究才具有更大的意义和适用价值。　　本文主要研究了Young型的算子不等式、加权算术-调和平均的算子不等式、Kantorovich型和Wielandt型的算子不等式及多元平均算子不等式。主要内容包括:　　1.利用Kantorovich常量及其性质给出Young及其逆的不等式，再根据这些标量不等式，借助算子函数的单调性原理得到Young型及其逆的算子不等式。还给出了Hilbert-Schmidt范数形式的Young型的矩阵不等式。　　2.在Young及其逆的不等式的基础上，得到了与Heinz平均相关的不等式，从而研究了Heinz平均不等式的改进及其逆的算子形式。　　3.研究了加权算术-调和平均的改进及其逆不等式，主要得到了两个推广的结果，在这两个结果的基础上，给出了算子、矩阵及行列式形式的加权算术-调和平均不等式。　　4.借助Hermite-Hadamard不等式讨论了混合算术-几何和几何-调和平均的算子不等式。　　5.给出了Kantorovich算子不等式在高次运算下保序的更优的常量，而且还对高次运算下Wielandt型不等式做了进一步研究。　　6.对幂平均的不等式(A-P-H)和Karcher平均的不等式(A-K-H)做了研究。利用Kantorovich常量，得到了他们与正线性映射相关的逆向不等式，而且还把这些不等式推广到了高次情形。　　7.研究了Lawson-Lim算术-几何平均不等式，得到了它的逆算子不等式，并将Lawson-Lim几何平均和Karcher平均做了比较。