随着计算机的高速发展,蒙特卡罗(MC)方法的应用已从最早的蒲丰投针问题上发展到数学、工程热物理学、物理学、力学、统计学、社会学、金融学等各个不同学科领域,其应用范围愈渐广泛.根据产生用于模拟的随机样本的不同方法,蒙特卡罗方法可分为静态蒙特卡罗方法和动态蒙特卡罗方法(亦称为马氏链蒙特卡罗(MCMC)方法).蒙特卡罗方法具有收敛速度不受研究问题维数影响的优点,因此,该方法几乎是处理高维问题唯一有效的计算方法.蒙特卡罗方法的缺点是收敛速度慢计算精度不高,在给定样本量下,可以通过方差缩减技术实现加速该方法的收敛速度提高计算精度,常用的方差缩减技术有重要性抽样法、控制变量法.积分方程在成为一门独立学科的道路上,挪威数学家Niels Abel、意大利数学家Vito Volterra、瑞典数学家Erik Ivar Fredholm和德国数学家David Hilbert做出了不可磨灭的贡献,积分方程的发展始终伴随着在不同学科的广泛应用,因其可以与微分方程互相转换且可以降低维数,所以被广泛应用于工程系统、社会系统等诸多领域.虽然已有Nystr¨om法、配置法、有限元方法、逐次逼近法、求积公式法等众多确定性数值方法可以求解积分方程(组),但一些确定性方法在求解过程中会遭遇求解系统维数或阶数过高的难题,而蒙特卡罗方法的优点恰好可以弥补确定性方法的不足.因此,将蒙特卡罗方法与确定性方法结合使用逐渐被众多科学计算工作者青睐.本文致力于研究积分方程的随机模拟求解方法—蒙特卡罗模拟求解算法,发展积分方程的科学计算方法,为科技工作者提供数值计算方法的借鉴.本文主要开展了应用蒙特卡罗方法数值求解第二类Volterra型积分方程组、第二类Fredholm型积分方程以及第二类Volterra型积分方程这三方面的工作,Fredholm型积分方程和Volterra型积分方程是积分方程这门学科中最基础的两类方程,同时它们在实际问题中都有很广泛的应用背景.因此,发展这两类方程的科学计算方法具有重要的理论意义和实际应用价值.本文的主要工作概括如下.第一章简要概述了蒙特卡罗方法的实施过程、优良特性和基本信息,积分方程的发展过程和应用范围,使用蒙特卡罗方法求解积分方程(组)的研究历史与现状,本文开展的主要研究内容.第二章提出结合使用数值求积公式法和基于重要性抽样的动态蒙特卡罗方法数值求解Volterra型第二类积分方程组,给出了产生动态随机样本的初始概率和一步转移概率的选择方案.文中理论证明了迭代蒙特卡罗重要性抽样方法求解积分方程组的可行性和有效性,一些经典算例被求解以说明动态蒙特卡罗方法的计算精度具有一定参考价值.第三章提出使用Gauss-Legendre求积公式法和基于控制变量法的动态蒙特卡罗方法相结合的方法,数值求解Fredholm型第二类积分方程.给出复合GaussLegendre求积公式的余项以及使用Taylor展开式构造控制变量的具体过程.文中从理论和算例两方面证明了迭代蒙特卡罗控制变量方法可以提高求解Fredholm型积分方程的计算精度.第四章提出结合逐次逼近法和基于重要性抽样的动态蒙特卡罗方法求解第二类Volterra型积分方程,给出了状态连续的马氏链随机样本的产生方法,通过求解文献中的数值算例验证了所使用方法的效率是可以接受的.第五章对全文内容进行了总结概述,展望了可进一步开展的蒙特卡罗方法的研究方向和应用范围.