本文共三章.在第一章中，设n是一个合数，Zn表示模n的剩余类环，r(x)∈Zn[x]是一个首一的k次(k＞0)不可约多项式.我们引入n是k阶模r(x)的Carmichael数的定义，全体这样的数记为集Ck，r(x)，由此给出k阶Carmichael数集Ck：Ck={UCk,r(x)|r(x)过全体Zn上的首一k次不可约多项式}.显然，C1表示通常的Carmichael数集．我们得到了n∈Ck，r(x)的一个充分必要条件，进而得到n∈Ck的一个充分必要条件.在第二章中主要以AKS算法和Bernstein算法为中心，首先讨论AKS算法和Bemstein算法的正确性，然后详细分析了这两种算法，对它们的每一步实现给出了相应的算法，并利用C语言和汇编语言实现了AKS算法和Bernstein算法，并对算法的实现，提出一些改进.在第三章中，设n=pq，p，q为奇素数，Zn是一个模n的剩余类环，我们对Zn上的椭圆曲线En(a，b)的基本性质进行了深入的讨论，给出了En(a,b)上存在阶为Mn=lcm{＃Ep(a,b)，＃Eq(a,b)}的点G的一个充分必要条件，并给出例子说明当Ep(a，b)为循环群，Eq(a，b)为非循环群，且对应的En(a,b)上有阶为Mn的点G.环Zn上的椭圆曲线En(a，b)的QV数字签名方案、SOM密钥交换协议与QV密钥交换协议均选取En(a，b)上的阶为Mn的点G作为公钥(称G为基点)，并且限定其对应的Ep(a，b)和Eq(a，b)均为循环群，这就限制了只能选择一类特殊的椭圆曲线En(a,b)构作数字签名方案和密钥交换协议.