用D={z∶|z|＜1}表示单位圆盘， C∞表示扩充复平面.设f(z)在D内解析且连续到边界(a)D，则f((a)D)是局部连通的紧集。设C∞f((a)D)=Uj≥0Wj为连通分支分解，则Wj单连通且具有局部连通的边界。如果f-1((a)f(D))和f-1((a)Wj)∩(a)D都是Cantor型集合，即(a)D中的无处稠密集。我们就说f(z)在D内具有Cantor边界性质.其中Wj是满足f(D)∩Wj≠Φ的任何连通分支。本文的前半部分主要研究单位圆盘D内解析函数的Cantor边界性质及相关问题，后半部分主要研究Cn上几个全纯函数空间之间的复合型算子。全文由六章组成。　　 第一章，我们对解析函数的Cantor边界性质、复合型算子的有界性以及紧性问题的背景与现状进行了综述，并列出了论文的主要结果。　　 第二章，我们对Cantor型集C=f-1(a)f(D))的测度进行研究，得到了一维Lebesgue测度|C|＞0的一个充分条件：若f(z)具有Cantor边界性质且f1(z)属于H1，则|C|＞0.然后根据这一结论构造出了一些满足|C|＞0的例子。　　 第三章，我们考虑复Weierstrass函数f(z)=∑∞n=1λ-βnZλn.这里λ＞1，0＜β＜1，则f(z)在D={z∶|z|＜1}内解析且在/D上连续，当λ不为整数时，我们取D={z∶|z|＜1}[0，1)且zλn取D内的主值分支.我们首先给出局部Cantor边界性质的定义，然后证明复Weierstrass函数f(z)在L={eiθ∶0＜θ＜2π}上具有局部Cantor边界性质。在这一章，我们还考虑Hadamard缺项级数g(z)=C0+∑∞k=11ckznk.我们证明了：如果inf{nk+1/nk}≥q＞1，supκnk|ck|=∞且∑κ|ck|＜∞，则g(z)在D内具有Cantor边界性质。　　 第四章，利用pre-Schwarzian导数与单叶函数的关系，我们建立了解析函数具有Cantor边界性质的一个充分条件，同时给出了相应的例子。　　 第五章，我们研究单位球B上小Bloch型空间之间的加权复合算子，得到了Cn中单位球上小Bloch型空间βp0到βp0的加权复合算子TΨφ为有界算子或紧算子的充要条件。　　 第六章，我们研究单位球B上Dirichlet型空间Dpα上的Carleson测度和乘子问题。对0＜p≤q＜∞，我们首先得到了B上正的Borel测度μ使得DpαCLq(dμ)的充要条件，然后应用所得结论给出了Dpα到Dpα的乘子为有界算子的充要条件。