【摘 要】
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本文主要研究了三维空间形式中的特殊曲线和特殊曲面的一些微分几何性质.2002年,日本学者Izumiya和Takeuchi从曲面上的曲线这一视角出发,研究了三维欧氏空间中贝特朗曲线和直纹面之间的关系[77].借助他们的想法,我们讨论了三维非平坦空间形式中贝特朗曲线和测地曲面之间的联系.对于欧氏空间中的奇异曲线,运用提升维数的思想,可以构造奇异曲线的活动标架,从而可以研究曲线在奇异点处的几何性质.本文
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本文主要研究了三维空间形式中的特殊曲线和特殊曲面的一些微分几何性质.2002年,日本学者Izumiya和Takeuchi从曲面上的曲线这一视角出发,研究了三维欧氏空间中贝特朗曲线和直纹面之间的关系[77].借助他们的想法,我们讨论了三维非平坦空间形式中贝特朗曲线和测地曲面之间的联系.对于欧氏空间中的奇异曲线,运用提升维数的思想,可以构造奇异曲线的活动标架,从而可以研究曲线在奇异点处的几何性质.本文应用上述方法,研究了三维黎曼空间形式中奇异贝特朗曲线和奇异曼海姆曲线的几何性质.最后,我们考虑三维欧氏空间中沿着奇异曲线生成的两类非可展直纹面,这两类直纹面分别为主法直纹面和副法直纹面.从奇点理论的视角出发,我们讨论了曲线上的奇点与曲面上的奇点之间的关系,并给出曲面的奇点分类.从几何不变量的视角出发,我们用非可展曲面上的结构函数来刻画特殊非可展直纹面.本文结构安排如下:第一章,主要介绍了奇点理论的背景和本文研究对象的发展现状,并简要阐述了全文的研究内容和结构安排.第二章,主要介绍了半欧氏空间中的一些非平坦子空间和子流形的概念.第三章,主要研究了三维非平坦空间形式中贝特朗曲线的几何性质,并根据曲线与曲面之间的位置关系,讨论了贝特朗曲线和测地曲面之间的关系.第四章,主要研究了三维黎曼空间形式中奇异贝特朗曲线和奇异曼海姆曲线的几何性质,并给出了具体例子.第五章,主要研究了三维欧氏空间中由奇异曲线生成的非可展直纹面上的奇点分类,并给出具体例子.
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