随着科学技术的日新月异，人们对大自然的认识不断深入，分形和分数阶系统已然成为当下的理论热点和技术前沿，是诸多领域特别是在交叉学科中对各类非线性过程和反常现象进行建模、刻画、分析和控制的有力工具，吸引着国内外众多学者的持续关注.一方面，以Julia集为代表的分形集直观地表征着系统状态的某些渐近性质，对其的分析和估计可以帮助人们更好地理解和把握系统的复杂性，而系统的某些性态需求也可以通过控制其Julia集来得以实现.此外，Julia集和扩散限制凝聚模型等本身亦是重要的分形研究对象，具有错综复杂的内部结构和异乎寻常的有趣性质.另一方面，分数阶系统通常用于刻画具有记忆性、遗传性或者非局部性的现象和行为.此类现象或行为具有本质的非线性和高度的复杂性，一般无法通过经典整数阶模型给出简洁清晰的解释.而且，越来越多的研究已经证实，自然界中多数系统本质上即是“分数阶”的，通过传统方法得到的整数阶模型只能反映某些局部性质或得到一些粗略结果.因此，结合分形理论和分数阶系统理论，从分形视角研究分数阶系统，将分数阶元素引入经典分形，可为非线性系统理论的研究提供新的分析工具和控制方法，也可为非线性问题的动力学建模与应用拓展新的途径，具有十分重要的理论意义与现实价值.
　　本文立足理论、服务应用，融合分形理论和分数阶系统理论，构建几类分数阶分形对象，从定性和定量两个层面探讨分数阶系统的分形动态性质，解决分数阶分形集的控制或同步问题，为进一步理解分数阶动力学以及描述自然界中的某些非线性现象提供新的视角和可行的方法.研究内容主要包括以下四个具体方面:
　　1.基于分数阶Lotka-Volterra模型的连续分数阶系统Julia集的分形动态分析和控制.
　　推广现有的分数阶Lotka-Volterra模型，设计耦合雅可比矩阵以分析系统均衡点的稳定性，定义模型的Julia集并讨论其分形特征，通过三种不同的控制策略实现Julia集的控制并进行比较，设计耦合项以实现两个具有不同系统参数的Julia集的同步.进一步，将分数阶Lotka-Volterra模型推广至复数域并引入动态噪声扰动，以研究系统空间Julia集的结构和性质;定义Julia偏差指数定量地分析几类动态噪声对系统Julia集的影响，并讨论Julia集的对称性以及噪声对其的破坏作用.
　　2.基于分数阶差分Logistic映射的离散分数阶系统分形集的动态分析和同步.
　　研究基于离散分数阶微积分框架的差分方程所导出的Logistic映射.通过Julia集和Poincaré图，讨论映射的分形和混沌特征，并与定义的分数阶差分二次映射进行比较，阐明这些动力学现象所反映出的分数阶差分映射的记忆效应;设计耦合控制器以实现分数阶差分Logistic映射和分数阶差分二次映射之间的同步.进一步，提出传统映射分形集的分数阶化准则，并给出经典二次映射的Julia集和Mandelbrot集分数阶化的若干具体方案，同时比较分析这些推广之间的差异.通过可视化技术和维数分析，研究映射阶数对其分形集的影响.
　　3.基于Mittag-Leffler函数的分数阶函数迭代Julia集的分形动态分析和同步.
　　研究基于Mittag-Leffler函数的一类由分数阶函数所构成的不确定离散复动力系统的Julia集.推广几类经典的非多项式函数迭代的Julia集，讨论函数参数对集合分形特征的影响.提出一种直接适用于复动力系统的自适应控制策略以同步具有不同系统参数的两个系统的Julia集，并对其中的未知参数进行辨识.
　　4.基于分数阶扩散限制凝聚模型的分数阶偏微分系统的分形动态分析.
　　利用分数阶扩散机制，改进经典扩散限制凝聚模型，构造得到一类分数阶扩散限制凝聚以作为模拟分形生长的新方法.分数阶算子独特的记忆性最终可以宏观地反映为凝聚团簇的定向性，定义各向异性指数并结合分形维数量化模型阶数对凝聚行为和团簇结构的影响.
　　综上所述，本文创新性地研究了几类基于典型分数阶系统的分形集，分析了分数阶分形的性质和特点，讨论了系统阶数对系统分形的作用，实现了分数阶Julia集的控制、同步和未知参数的辨识，改进了相关的可视化算法，扩充了分形理论研究的知识框架，丰富了分数阶系统的研究方法，为分形理论和分数阶系统理论的进一步应用提供了一定的技术支持，对更一般分数阶系统的分形分析和分形控制问题的研究也具有借鉴意义.