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本文主要介绍了延迟微分方程分支理论的形成和发展。研究了现阶段Hopf分支的发展方向，详细介绍了处理数值Hopf分支的相关算法以及微分方程组的Hopf分支存在性问题。 延迟微分方程分支现象广泛存在于自然界中，像物理、工程、生物学、医学及经济等领域都有很多的应用。对分支现象的研究是研究系统动力学性质的重要方面，有重要的理论意义和实际意义。对延迟微分方程数值算法的研究尤其对连续动力系统的动力学性质的数值分析是计算数学领域中的重要课题。 首先给出了一般延迟微分方程系统的解析解和数值解的Hopf分支理论，包括分支方向，分支周期解的稳定性等内容。然后简单介绍了延迟微分方程的数值处理方法。在此基础上研究了延迟微分方程组的数值Hopf分支存在性问题，就步长h=1/m时，证明了在点τ0产生Hopf分支的一类生理模型其离散化系统在点τ0附近也会出现Hopf分支。本文将改进的Euler方法运用到该生理模型中，经过计算得到它的特征方程，通过对特征方程根的讨论，根据已知的定理得到延迟微分方程组离散系统的Hopf分支方向，分支周期解的稳定性与参数之间的关系。 最后本文研究了延迟微分方程组的T-B奇性理论，分析了生理模型的T-B奇性。并研究了一个具有T-B奇性的例子，证明了把向前Euler方法应用于该例子后得到的离散系统是仍然具有T-B奇性的。