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这篇学位论文由五章内容组成,对相关问题作了系统的研究,并构成了一个有机的整体.第一章列出了该文要用到一些基本理论.包括空间L(Ω)的基本性质;从L(Ω)到L(Ω)的Nemytsky算子的基本性质;空间W(Ω)Sobolev型嵌入定理;弱解的正则性结果和强极值原理;有关第一特征值的结果.我们知道方程和正解在实际应用中占有重要的地位,由于有强极值原理作保证,我们才能讨论正解的存在性.在第二章中,我们利用变分方法研究p(X)-拉普拉斯方程有界区域上的正解存在性及多解性问题.第三章主要讨论特定条件下无界区域上的紧嵌入定理.利用第三章建立的嵌入关系,第四章主要讨论P(X)-拉普拉斯方程在R上的正解的存在性及多解性问题.第五章讨论径向结点解的存在性问题,即寻求方程的恰有给定个零点的径向解.