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本学位论文包含两个部分：Abel范畴中的pullback与蝴蝶结引理，Abel群层范畴中的pullback与pushout。
在第二章，我们利用Abel范畴中的pullback的性质，证明了Abcl范畴中的蝴蝶结引理(Zassenhaus引理)，并由此证明了Abel范畴中的Jordan-Holder定理。
在第三章，我们给出拓扑空间X上Abel群层范畴中的pullback的具体刻划，并利用伴随对的性质给出pushout的刻划，同时证明了正像层函子f*(-)保持pull-back，逆像层函子f-1(-)保持pushout。