本文对问题(P)作了进一步的深入研究，考虑更一般的区域Ω，即Ω=∞∪m=1Ωm是Rn中的一个有界开集，而每个Ωm是Rn中边界分片光滑的有界连通开子集，并且Ωi∩Ωj=φ如果i≠j。我们还假设|Ω1|n≥|Ω2|n≥…≥|Ωm|n≥…，当m→0时|Ωm|n→0，并且|Ω|n=∞∑m=1|Ωm|n＜+∞，这里|·|n表示n维的Lesbegues测度。q(x)在每个Ω-m上连续。值得注意的是q(x)并不一定在整个Ω-上连续。这类区域可以包括Rn上具有分形边界的非连通区域。我们证明了：(1)当R→+∞时，仍然成立 　　1/A(R)∑μk≤R[λk-μk-(qvk,vk)]=O(logR/R)。(2)当n=1时，成立迹偏移估计式 　　Hψ(R)-H*C1,DM(D；()Ω)RD/2+o(RD/2) 　　≤∑μk≤R(λk-μk) 　　≤Hψ(R)-H*C1,DM(D；()Ω)RD/2+o(RD/2)，当R→+∞时.其中区域Ω的边界()Ω是Minkowski可测的并且它的Minkowski维数D∈(0，1)，记H=1/|Ω|τ∫Ωq(x)dx是q(x)在Ω上的积分平均值，Hm=1/|Ωm|1∫Ωmq(x)dx，H*=liminfm→∞Hm，H*=limsupm→∞Hm，ψ(R)=π-1|Ω|1R1/2是Weyl项，C1,D=2-(1-D)(1-D)π-D(-ζ(D))，而ζ(z)是Riemann-zeta函数，M(D，()Ω)是边界()Ω的D-维Minkowski容量.(3)当n=2时，我们首先得到了平均迹偏移公式 　　limR→+∞1/ψ(R)∑μk≤R(λk-μk)=H,其中H=1/|Ω|2∫Ωq(x)dx是q(x)在Ω上的积分平均值，ψ(R)=1/4π|Ω|2R是Weyl项.其次，对一个具体的例子我们得到了类似于(2)中的迹偏移的估计式， 　　∑μk≤R(λk-μk)=Hψ(R)+O(RD/2)。