本文主要基于双曲及高阶导数方程研究了间断有限元(discontinuous Galerkin,DG)方法的误差分析包括先验误差估计,负模估计,超收敛分析等。主要分为以下几个方面:首先,考虑变系数薛定谔方程局部间断有限元(local discontinuous Galerkin,LDG)方法的误差估计及后处理。后处理技术是在数值计算的最后一步将数值解与一个光滑的样条核函数做卷积,从而提高数值解的光滑性及精度。后处理解的误差估计主要依赖于先验误差以及负模误差估计。为此先证明了 LDG格式有k+1阶的最优误差估计,然后通过构造对偶方程证明了负模误差有至少2k阶的精度,这里k是逼近空间多项式的最高次数。最后通过数值算例,包括一维线性方程、一维非线性方程、一维及二维的变系数方程来验证理论分析。虽然理论证明只是对于变系数的情形,但从数值结果可以看出对非线性方程后处理技术也可以提高数值解的精度。然后,针对高阶导数方程,基于LDG和超弱间断有限元(ultra-weak discon-tinuous Galerkin,UWDG)方法提出了一种超弱 LDG(ultra-weak local discontinuous Galerkin,UWLDG)格式。其构造思想是将一个高阶导数方程通过引入较少的辅助变量改写为一个低阶导数方程组,然后多次利用分部积分,并选取恰当的数值流通量来保证格式的稳定性和精度。与LDG方法相比我们引入了较少的辅助变量,因此减少了存储与计算时间。与UWDG方法相比,不管奇数阶方程还是偶数阶方程都不再需要内部惩罚项去保证稳定性和最优精度。以一维非线性四阶和五阶方程为研究对象,讨论了相应的数值格式、稳定性分析、误差估计等,并将其推广至更高阶及高维的情形。此外以一维线性四阶方程为例讨论的UWLDG格式的超收敛性,并将这种方法应用到了非线性四阶波动方程上去,证明了能量守恒稳定性,以及最优误差结果。所有的理论分析都通过数值算例得到了验证。最后,主要讨论了守恒律方程任意拉格朗日欧拉间断有限元(arbitrary Lagrangian-Eulerian discontinuous Galerkin,ALE-DG)方法的超收敛性。其包括两部分内容。一方面:研究了一维线性双曲方程ALE-DG方法的超收敛性。为此首先从格式本身的双线性形式出发,定义了一系列的修正函数来矫正双线性形式中真解与其投影的误差,通过这些修正函数最后构造出了一个与数值解之间有着超逼近性质的插值函数。这个特殊的插值函数帮助我们证明了数值解与真解之间在单元、区域平均以及一些特殊点处的超收敛。另一方面:考虑一维非线性守恒律方程ALE-DG格式的负模误差估计及后处理,证明了数值解在负模下的超收敛,并通过后处理技术提高数值解的精度。ALE-DG方法是DG方法在移动网格上的一种推广,对于固定网格上的间断有限元方法已经有很多超收敛的结果,我们想把这些结果推广到ALE-DG方法中。由于这是一种动网格的格式,所以时间依赖的有限元空间,速度场等使得分析更为复杂。证明的关键点是尺度变化的技巧及物质导数。尺度变化可以将需要估计的项从物理单元变换到参考单元,物质导数的一些性质如可以与投影交换次序等帮助我们得到最后的超收敛结果。