一维椭球波函数是由美国贝尔实验室的D.Slepian及其合作者在研究时频问题时首次提出的,它是在时域上集中分布同时在频域上能量聚集性最佳的函数,具有以下重要性质:1.椭球波函数具有时-频域能量聚集性佳、近似时限带限、频谱可控、时域双正交且完备等优良特性。2.满足Sturm-Liouville特征方程,具有拟一致分布的零点,在利用显式时间格式离散非线性发展型方程时,可以放宽CFL条件对时间步长的限制,在达到相同精度时的节点数比一般谱方法要少。3.满足三维Helmholtz方程在扁长椭球面坐标系下进行分离变量后得到的角向方程。因此,对于高波数问题,相比于传统代数多项式,本身是波动函数的椭球波函数会是一种更自然的逼近,也会是最佳的,从而可以以非常小的自由度取得指定精度,达到问题求解的高效自适应。这些丰富的特性使得它们在单模椭圆截面光纤,信号处理,光子散射反射,电磁波传播中的球介质问题等研究领域,尤其是偏微分方程数值解领域中受到人们极大的关注。另一方面,尽可能好地保持物理定律和结构一直是设计数值方法的追求。磁场散度为零的性质（磁场Gauss定律）是重要的物理定律,尤其在Maxwell特征值问题的计算中,特征函数必须满足散度为零。因此,本论文在既有的研究成果上,开展了满足散度为零的向量球调和下的椭球波函数的构造及其性质的研究。具体有以下研究工作:1.建立了一类高维球体上的向量椭球波函数,它精确满足散度为0,且curl正交。2.研究这类满足零散度的向量椭球波函数为有限傅里叶积分变换的特征函数。3.提出这类满足零散度的向量椭球波函数满足两类的Sturm-Liouville特征问题,且保留了对称性,自共轭,和含有与带宽参数有关的项。4.研究这类满足散度为0的向量椭球波函数的解析等性质。