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本文主要利用推广的minimax原理研究非线性项不连续的椭圆方程和障碍问题的非平凡解的存在性．
本文分为三部分．第一部分主要推广了一些minimax定理．以形变引理为基础，对Lipschitz连续的这类特殊的非光滑泛函推广了一些minimax定理．同时，对推广的山路引理给出了一个实例，即讨论了方程-△u-λu=f(x，u)的零边值Dirichlet问题的非平凡解的存在性，其中Q∈R是有界的光滑区域，f(x,t)是定义在Q×R上的局部有界可测函数．当λ和f(X,t)满足适当的条件时，证明了上述Dirichlet问题至少存在一个非平凡广义解．在讨论的过程中，广义导数是本文研究的基本工具．
第二部分，将推广的山路引理应用到了另一类非线性项不连续的椭圆方程的求解问题中．本文首先介绍了Orlicz-Sobolev空间中的一些相关概念及结论，然后在一类Orlicz-Sobolev空间中，我们讨论了拟线性椭圆方程-div(α(|▽u |)▽u)=g(x，u)带零边值的Dirichlet问题的非平凡解的存在性．当α(s)和非线性项g(x,t)满足适当的条件时，我们利用推广的山路引理证明了上述Ditichlet问题至少存在一个非平凡广义解．
第三部分，研究了下列障碍问题的非平凡解的存在性其中，K={v∈H<1><,0>(Ω)：v≤ψα.e于Q)，这里Ω是R中有界的光滑区域．在障碍Ψ(x)，α(x)和非线性项p(x，f)满足适当的条件下，本文利用关于不等式的山路引理证明了上述不等式存在非平凡解.