分形几何中由迭代函数系构造分形集的方法推动了由多个理函数生成的动力系统即随机复动力系统的产生.而对由有限多个有理函数生成的随机复动力系统的Fatou集上的动力学性质的认识则为研究随机复动力系统的主要任务之一.为研究随机复动力系统的Fatou集上的动力学性质，在第一章我们首先引入了Fatou分支上的极限函数并对其性质，特别是这些极限函数与临界轨道的关系，作了深入讨论.然后，借助所得结果研究了一类没有游荡域的随机复动力系统—双曲随机复动力系统.最后，讨论了由有限多个有理函数生成的随机复动力系统的Julia集的连续性. 为解决Fatou提出的关于有理函数的Julia集的Lebesgue测度的一个猜想，计算与估计Julia集的Hausdorff测度具有非常基本而重要的意义，同时，在分形几何研究中计算与估计分形集的Hausdorff测度是一个十分重要的课题.然而这也是一项十分困难的工作，即使对于看上去很简单的分形集，要得到它的Hausdorff测度的精确值往往也都具有很大的难度.事实上，迄今为止，也只有少量的维数不大于1的自相似集的Hausdorff测度的准确值被计算出来.在第二章为了计算Sierpinski垫片的Hausdorff测度，考察了其上的一类自相似测度及它的(凸)密度，回答了该自相似该测度的最大密度的存在性问题.