基于变分法的图像复原算法研究

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据统计,人类感知系统所接收到的外界信息中,大约有75%是来自视觉。图像是人类通过视觉认识世界的重要载体。如今,从天空到地面,从军事到民用,图像已经无处不在了。然而,很多时候我们所得到的图像并不理想。这是因为图像在生成、传输及存储的过程中往往会受设备或者人为因素的影响而发生降质。这些降质主要表现为:噪音、模糊、信息缺失等。人们从降质图像中难以获取正确的边界和特征,这将会给进一步的图像分析和研究带来很大的麻烦。因此,研究如何有效地恢复降质图像变得极其重要。本文围绕图像复原的数学理论、正则化、噪音去除和模糊去除等四方面内容展开研究。本文所做的主要工作和创新如下:第一,图像处理的数学基础。系统地介绍了图像处理中常用的数学理论:算子及泛函、变分及凸优化等。指出了泛函变分、次微分及Gateaux导数之间的关系,这将有助于准确地求出最优化问题的Euler-Lagrange方程。为简化描述一元凸函数次微分的几何性质,给出了三个概念,即:左切线、右切线和次切线。第二,图像处理的正则化问题研究。从数学的角度出发,对三种正则化项在图像处理问题上的应用进行了评述。论文阐述了逆滤波、维纳滤波等早期复原方法的推导过程及优缺点,讨论了正则化的Tikhonov方法、正则化的总变分去噪理论及正则化的梯度L0模平滑理论。研究发现Tikhonov正则化方法能够去除加性高斯白噪音,但是也会带来较大的模糊;总变分法既能够有效地去除图像上的高斯白噪音,又能够保留图像的边界和细节上的信息,但同时也会带来一定程度上的边界和细节信息的模糊;图像梯度的L0模方法不但能够比较有效地平滑掉图像的细节信息,而且能够很好地保留图像的边界信息却不带来边界的模糊,有利于图像的边界提取。数值实验结果表明,利用不同的正则化项会产生不同的处理效果。因此,根据需求选择恰当的正则化项对于图像处理来说非常重要。第三,图像加性高斯白噪音的去除算法研究。介绍了两种有效的图像去噪算法,即:Chambolle A所提出的对偶去噪算法和Osher等人所提出的Bregman迭代去噪算法。基于这两种去噪方法,针对加性高斯白噪音,提出了一种加权的去噪算法。新算法以Bregman迭代法为基础,每一步迭代利用对偶法求解。不同于Bregman迭代去噪算法的是,加权去噪算法给噪音回代项设置了一个大小可调整的权重系数,噪音越大其值越小。对不同噪音程度的一维信号图像、二维灰度图像和三维彩色图像的去噪实验表明了加权去噪算法的有效性。第四,图像非盲去模糊算法研究。研究了一种基于总变分的交替方向迭代图像复原算法和一种基于总有界变分的分裂Bregman去模糊模型。对于模糊核和噪音信息已知的降质图像,提出了一种基于总有界变分的交替方向迭代复原算法。利用新的算法复原图像,每一步迭代只需求解两个较小规模的子问题。而在周期边界条件的假设之下,子问题分别可用软阈收缩算法和快速傅里叶变换法来求解。新算法既能比较有效地恢复出只含模糊(本文指的是运动模糊或高斯模糊)的图像,又能有效地恢复既带模糊又带加性高斯白噪音的图像。大量不同类型的数值实验表明了新算法不仅对自然图像的复原有效,而且对车牌、字符类的文字图像的复原也很有效。
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