分数阶微积分具有历史依赖性和全局相关性特征,是描述事物记忆性及遗传性的理想工具.与整数阶微积分相比较,分数阶微积分在信号处理、流体力学、数学生物学、电化学等方面与现实实验结果的拟合度更好,因此已被广泛应用于许多学科和工程领域.对分数阶微分方程进行研究,解决来自于上述学科所涉及到的分数阶模型,可以丰富微积分领域的研究成果,拓展微分方程的研究领域,具有重要的理论意义和应用价值.分数阶微积分看似是整数阶微积分的简单推广,然而分数阶积分的定义涉及含有参量的瑕积分,很多整数阶微积分的结论和性质在分数阶中不能成立,即使成立也不一定顺理成章.因此,系统研究分数阶微积分及其方程具有重要意义.本文针对几类典型的分数阶微分方程,通过建立相应的分数阶Lyapunov不等式、分数阶Lyapunov函数、分数阶比较定理、集值映射不动点定理等,讨论了解的存在性、唯一性和稳定性.全文的主要工作概括为:1.在整数阶微分方程及低阶(阶小于1)分数阶微分方程非平凡解的存在性研究中,Lyapunov不等式起到了重要作用.本文对含有高阶分数阶导数的线性微分方程(阶位于2到3),建立了相应的Lyapunov型不等式,并应用它得到了一类线性分数阶微分方程解的唯一性及Hyers-Ulam稳定性结果.2.比较定理是讨论微分方程边值问题解的存在性的重要工具.对于经典的整数阶微分方程,有整数阶比较定理;对于某些分数阶微分方程,有分数阶比较定理.本文建立了一个既含有整数阶项,又含有分数阶项的新的比较定理,并运用它及上下解方法和不动点定理,获得了一类含有两个分数阶导数项的非线性分数阶微分方程边值问题解的存在性及解的构造形式.3.基于再生锥的特征,建立了集值增、减算子和混合单调算子的不动点定理,该定理无需上下解存在为前提.作为应用,讨论了分数阶积分包含和分数阶耦合系统解的存在性.4.研究了一类描述分数阶随机时滞惯性神经网络的微分方程解的稳定性.利用适当的变量代换,将原方程化为仅含单个分数阶导数的微分方程,构造了含有分数阶积分的Lyapunov函数,利用伊藤公式,结合LMI技术,得到了有限时间随机稳定的充分条件,给出了相应的状态反馈控制器的设计方法,以及随机稳定时间函数上界的估计,通过数值仿真验证了该方法的有效性.