在计算机图形学与数字几何处理中,几何映射将一个几何区域变换到另一个几何区域。几何区域通常使用网格模型表达,因此其上的几何映射是由定义在每个网格单元上的线性或高阶映射组成的分片映射。计算几何映射是一项基本且至关重要的任务,广泛应用于参数化、形状变形、网格优化与模拟仿真等。由于现实世界中不存在体积为零甚至为负的材料,所以几何映射需要满足局部无翻转约束。计算无翻转几何映射通常被描述为一个非凸、非线性、带约束的优化问题,众多学者已经研究出各种方法来解决这个优化问题,但仍存在局限性。本文提出了 一系列高效的方法用于判定、构造并优化无翻转几何映射。对于分片线性映射,若初始映射包含翻转,则需要去除翻转构造出无翻转映射。然而,现有的方法通常依赖于用户输入或不能高效地生成无翻转且高质量的结果。本文第三章提出了一种方法,可以快速构造出局部无翻转几何映射,还能满足应用需求的线性硬约束。该方法使用交替迭代的思想,在共形扭曲界生成和单调映射投影之间轮流计算。给定共形扭曲界,映射投影过程最小化了映射到有界扭曲空间的距离。经过投影,更新后映射的共形扭曲往往低于给定的扭曲界,从而显著减少翻转。由于定义一个最佳扭曲界并非易事,我们引入了一种实用的共形扭曲界生成方案,以便于后续的投影。通过交替迭代共形扭曲界生成步骤与单调投影步骤,我们的方法可以快速计算出高质量的无翻转映射。与现有方法相比,我们的方法不依赖于额外的输入且具有很强的实用鲁棒性与高效性。若初始映射无翻转,则可以增加更多的约束或者目标能量项,来满足更多的实际应用需求。例如纹理映射,通过增加边界无自交约束得到全局无翻转参数化（双射参数化）,可以保证2D纹理与3D模型一一对应。本文第四章提出了一种方法,可以对拓扑同胚于圆盘的网格,高效地计算低扭曲的全局无翻转参数化。我们的方法依赖于二阶优化方法,为了设计一个高效的求解器,我们开发了两个关键技术。首先,引入了一个粗糙的壳网格,以大幅减少用于保证无相交边界碰撞约束的数量。在优化过程中,壳网格的外边界确保Hessian矩阵具有固定的非零结构和低密度,从而显著加快优化效率。其次,提出了基于三角形不等式的障碍函数,它有效地确保了边界不相交。我们的障碍函数在局部支集内是C∞,且可以解析地得到它的凸二阶近似。与最新的全局无翻转参数化方法相比,我们的方法具有更好的可扩展性,并且速度大约是现有方法的6倍。我们的全局无翻转参数化算法性能可与最先进的局部无翻转参数化方法相当。对于分片高阶映射,定义在每个网格单元上的映射是非线性的,例如Bézier映射。网格单元在非线性映射下呈现出曲边或曲面形状而非传统线性映射下的直边与平面,组成的网格称为高阶曲边网格。高阶曲边网格与线性直边网格相比,能够使用更少的单元来近似复杂形状的边界。目前高阶曲边网格由于其有利的数值特性,在图形学和工程分析等领域中已被越来越多的使用。对于高阶网格,例如Bézier网格,Jacobian矩阵在整个几何单元区域内是逐点变化的。验证高阶映射在整个单元内处处无翻转是困难的,因为整个区域内包含了无穷个点。本文第五章提出新颖的算法来判断基于Bézier映射定义的曲边网格单元是否存在翻转,该算法基于Jacobian矩阵最小奇异值的Lipschitz常数与Hessian范数之间的关系,结合Bernstein基函数的微分特性,推导出Lipschitz常数。利用Lipschitz常数,计算出最小奇异值在整个区域的下界,实现用有限个采样点判断映射在整个区域中是否满足无翻转。众多实验表明,我们的方法是鲁棒且有效的。