Ramsey理论起始于20世纪20年代末,最初由英国数学家F.P.Ramsey提出,从那以后其思想日益被人们理解、接受,并得到了长足的发展.Ramsey 理论的重要性在于它印证了一条著名哲理:完全的无序是不存在的.用组合的语言说,任何一个足够大的结构（数集、点集或物体的集合）,必定包含具有给定性质的子结构.Ramsey数是Ramsey理论的一个重要分支.Ramsey数r（k,l）的定义如下:对任给的正整数对k,l,r（k,l）是满足如下性质的最小整数n,每个n阶图G,要么包含一个k个顶点的团,要么包含一个l个顶点的独立集.换一种说法,Ramsey数r（k,l）是指满足如下性质的最小正整数n,对n阶完全图Kn的任一个红蓝2-边染色,要么存在一个红色的子图Kk,要么存在一个蓝色的子图Kl.按这种定义可以推广Ramsey数为广义Ramsey数:对于给定正整数k≥1和图H₁,…,H_k,Ramsey数r（H₁,…,H_k）是指最小的整数n,使得存在某个正整数i（1 ≤i≤k）,满足对Kn的任一个k边染色,都包含一个单色的子图Hi.在本文中,我们主要研究Gallai染色下的Ramsey数,其中Gallai染色是指完全图的没有彩虹三角形（即所有边的颜色都不同的三角形）的边染色.Gallai-Ramsey数g^r_k（K₃:H₁,H₂,…,H_k）的定义如下:给定正整数k和图H₁,…,H_k,g^r_k（K₃:H₁,H₂,…,H_k）是满足如下性质的最小整数n,对n阶完全图Kn的任一个k-边染色,要么包含一个彩虹三角形,要么包含一个i色的子图Hi（1≤i≤k）.当H₁=H₂=…=Hs=H,H_s+1=Hs+2=…=H_k=G时,相应的 Gallai-Ramsey 数记为g^r_k（K₃:sH,（k-s）G）.当H₁=H₂=…=H_k=H时,H的k色Gallai-Ramsey 数记为g^r_k（K₃:H）.本文主要讨论K4-e与三角形和K₃+e与三角形的Gallai-Ramsey数.对于K4-e与三角形的Gallai-Ramsey数,我们证明了如下结论:定理1 当k≥4,0≤s≤k时,g^r_k（K₃:s（K4-e）,（k-s）K₃）=g（k,s）其中#12对于K₃+e与三角形的Gallai-Ramsey数,我们证明了如下结论:定理2 当s=1,2,3时,gr3（K₃:s（K₃+e）,（3-s）K₃）=16.定理3 给定正整数k≥3,#12对于Gallai-Ramsey数g^r_k（K₃:s（K₃+e）,（k-s）K₃）,当k>3时,我们只给出了s=1时的结论.对于k>3且s≥2的情形,我们猜想结果与s无关.猜想4 给定正整数k≥ 3和s≥ 2,（?）