齐性纤维丛SO(E)/G上的调和截面

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设E是黎曼流形M上的秩为r的黎曼向量丛,与E相配的单位正交标架丛SO(E)是以SO(r)为结构群的主丛,其上的联络形式为ω,则E上相应的黎曼联络为▽ω.G是SO(r)的闭的连通子群,我们得到M上的齐性纤维丛SO(E)/C.若SO(E)可以约化为以G为结构群的子丛G(E),则在E上存在另一度量联络▽G,使得▽ωX-▽GX∈m(E),令ηG=▽ω-▽G,对任意的X∈X(M)其中m(E)=G(E)×Gm()G(E)×Gso(r)=so(E)()EndE.进-步的,我们将TSO(E)/G分解为铅垂部分V和水平部分H.这样我们可以定义V与mso(E)之间的同构φ,以及SO(E)/G上的黎曼度量<·,·>so(E)/G.这里mSO(E)=SO(E)×Gm是拉回丛π*SO(E)的-个分解.与度量<·,·>so(E)/G相配的黎曼联络我们记为▽q.那么在上述条件下,本文主要研究的是齐性纤维丛SO(E)/G上的调和截面,并且用ηG表示出了截面的调和性。铅垂测地性和水平测地性等重要性质.特别地,在最后,我们还对Hermite向量丛进行了专门的讨论。更为具体的内容如下。 在第一章中,我们介绍了有关齐性纤维丛的调和截面和G-结构的一些研究背景,引出了本文的主要问题。 在第二章中,我们首先给出了有关SO(E)/G的一些预备知识,分析了SO(E)和SO(E)/G的相配向量丛及其联络之间的关系。特别地,σ是铅垂测地的当且仅当(▽ωxη)x=0.因而,如果σ是铅垂测地的则σ是调和截面。因此,盯是超平坦截面当且仅当R(X,Y)m=0且盯是铅垂测地的。
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