众所周知，精细大偏差和风险理论是保险数学的两大主题。本文分别从风险模型重尾总索赔额过程的精细大偏差，破产函数的Cramér-Lundberg渐近性质和Lundberg不等式三方面研究了金融保险中息息相关的若干问题。 一方面，在现实生活中，人们常常会发现这样一种现象：某种事件一般不常出现，然而一旦发生，其影响不可估计。这类事件是应用概率领域中所谓的极端事件。例如在金融与保险行业中，极端事件是指那些发生概率很小，而一旦发生即为整个保险与金融(或公司)产生巨大的(有时是毁灭性的)冲击的那些事件，比如飓风，重大车祸，火灾，大地震等等。这些极端事件常常导致所谓的大索赔发生。数据表明，对于某个给定的保险公司，占总索赔次数百分之二十的索赔会达到总索赔量的百分之八十。受此启示，人们引入了重尾分布族。这极大地丰富了现代大偏差理论，并由此推出了更新过程、动力系统、随机分析、统计力学、金融数学尤其是保险学等诸多学科的深入发展。有关重尾的应用更是渗透于金融证券、风险投资、统计分析等经济与社会的各个领域。 目前关于重尾分布概念的内涵与外延(如包括所谓的正则变化类、大偏差原理、中偏差原理等)在底序列为独立同分布的情形下已得到了广泛而深入了研究。大偏差理论是应用概率论的一个重要课题，它对于定量地刻画极端事件是十分有用的。经典的大偏差理论最早是由Cramér等人建立的，其主要的假设是所谓的随机变量的分布函数是轻尾的(即矩母函数为有限的)。因为重尾分布在金融保险领域的重要性，而且该领域中的许多问题都可以归结为大偏差问题(典型的如再保险问题等等)，所以研究重尾随机变量序列部分和及随机和的大偏差顺理成章地成为应用概率学家们重点关注的课题。 Nagaev，A．V(1969a，b)，Heyde(1967a，b，1968)和Nagaev，S．V(1973，1979)首先建立了独立同分布的重尾随机变量序列部分和的精细大偏差。Cline和Hsing(1991)首次研究了独立同分布的重尾随机变量序列随机和的精细大偏差。Klü ppelbery et al．(1997)进一步研究了随机和的精细大偏差，并在金融保险中找到了实例及其应用背景，Su et al．(2001)改进了1997年结果中的假设条件，并建立了更新模型的重尾随机变量序列随机和的精细大偏差。Tang et al．(2001)将此结果推广到了复合更新风险模型。 另一方面，风险理论作为保险精算学中的一个重要理论，是理论界探讨的一个热点问题。而破产概率作为保险风险中的一个重要测度方法(即破产理论)，成为风险理论的一个主要课题。我们知道，保险是金融系统的重要组成部分之一，它与国家的经济发展和社会保障都密切相关。然而，保险业本身就是具有高风险特征的行业，一旦风险变为现实，不仅直接损害投保人的利益，而且保险系统本身的稳定经营也会受到影响。因此需要加强对保险系统风险的研究和测度，为保险系统提供早期的警示数据，以提高保险系统的经营管理和保险业自身的竞争力，这已成为保障金融与保险业持续发展和稳定经营的迫切需要，从而使风险理论也成为保险系统中的重要研究课题。实际上，保险公司的风险来源主要是发生索赔的次数和发生索赔时的索赔额，它们对影响保险公司未来的稳定经营有重要的作用。而确保保险公司稳定经营的一个重要衡量指标是破产概率，即保险公司的盈余第一次由正变为负的概率，是研究经营者的经营状况的理论与方法，它是衡量一个保险机构金融风险的极其重要的尺度。因此研究破产及与破产有关的问题的风险理论，是防范和化解金融风险和破产风险的重要理论依据，也成为金融企业，保险系统测度风险的理论基础。 随着金融保险行业日新月异地发展，经典的Cram亡r一Lundberg风险模型己经不再适应时代的需要。从而对经典风险模型作了以下各方面的推广:带常数利率或变盈利率的连续时间模型;盈利过程和索赔过程或盈余过程会以某种方式相关;考虑市场环境中的随机因素的影响;用一个更一般的点过程来描述索赔的发生。对于上述模型，人们通常利用更新理论给出破产函数的Cram6r一Lundberg渐近表达式，或者利用教方法给出破产函数的Lundberg指数上界。 对于精细大偏差的研究，本文感兴趣的场合是索赔额服从重尾分布的更新风险模型(包括Cr胡‘r一Lundberg模型)。本文将索赔额是独立同分布的风险过程(即集体风险模型)的精细大偏差推广到了独立不同分布(即个人风险模型)和平稳相依的情形。并且假设索赔额服从D类或ERV族等重尾分布。因为这些分布函数族能够描述大额索赔，所以对它们的研究在金融保险领域是极其重要的。另外，本文还较系统地研究了带常利率的风险模型，索赔相关风险模型和Markovian环境下带随机扰动的变利率的风险模型等的破产函数的Cram德r一Lundberg渐近性质和Lundberg不等式。显然这些新兴的风险模型更加切合实际，从而使本论文的研究也就更具有理论与实际应用价值。 本文由三章构成:在第一章中，我们先回顾了近年来许多关于精细大偏差的研究成果，然后在此基础上，将独立同分布重尾随机变量序列随机和的精细大偏差分别推广到了独立不同分布，负相依，刀一混合和俨一混合等