图的染色问题是图论中一个核心问题.以此为出发点,人们提出并研究了许多（更加广义的）染色概念.本学位论文研究了其中一些染色概念及其相关问题,主要包含广义符号图的染色,图的强分数选择数,图的广义染色数,图的孪生宽,集合系统的（组合）差异性,以及χp-有界图类.符号图（G,σ）是指在图G的基础上给边集加一个映射σ:E（G）→{+1,-1}使得图G的每条边e都有一个符号σ（e）∈{1,-1}.在符号图的一个染色中,符号σ（e）决定了边e两端顶点不能同时染的颜色对.广义符号图,我们也记作（G,σ）,其符号所组成的是一个置换集S,且每条边e上所赋符号σ（e）是S中的一个置换.在广义符号图（G,σ）的一个染色f中,符号σ（e）也决定了边e=xy两个端点不能同时染的颜色对,即f（y）≠σ（e）（f（x））.设Sk为正整数集[k]的所有置换组成的集合.自然地,由四色定理引发的一个问题是:对于S4的哪些子集S,每个平面图都是S-4-可染的?如今这个问题已经被完全解答:只有S={id}具有这种性质,这意味着四色定理在广义符号图染色的意义下是紧的.而这个答案是由不同作者的六篇文章的结论所得.本学位论文的贡献就是其中一篇文章的结论,说明了许多集合S不具备上面所述性质.针对无3-圈平面图,我们也考虑了类似的问题:对于S3的哪些子集S,每个无3-圈平面图都是S-3-可染的?这个问题可以看作在考察Gr（?）tzsch定理是否为紧的.我们的结论说明Gr（?）tzsch定理几乎是紧的,但整个问题还没有被完全解决.我们证明了对S3的任意子集S,若S不与{id,（12）}的一个子集共轭,则存在无3-圈的平面图不是S-3-可染的.强化Gr（?）tzsch定理的另一个方式是考虑无3-圈平面图的多重列表染色.Voigt证明了不是3-可选的无3-圈平面图的存在性,本学位论文通过考虑图的强分数选择数加强了Voigt的结论,证明了无3-圈平面图的强分数选择数的上确界至少为3+1/17.图和图类的结构复杂性是结构图论的一个重要研究课题.许多对一般图类来说是NP-完全的问题,如果限制到一些结构简单的图类上,可能会有多项式算法.本着这个想法,许多学者对一些概念和图的参量进行了广泛的研究.这些概念包括图的树宽,图的树深,广义染色数等.最近,Bonnet,Kim,Thomassé和Watrigant在[8]中提出了孪生宽的概念.在本学位论文中,我们研究了孪生宽和广义染色数之间的关系.我们证明了若一个图G不包含Ks,s作为子图且孪生宽为d,则G的强（弱）r-染色数被r的指数函数所界定,且我们能够构造出达到这种形式的界的图.图类的有界扩张性是稀疏图结构理论中两个核心概念的其中之一.这种图类具有强大的算法和结构特性,并享有众多的等价刻画和应用.在本学位论文中,我们研究了有界扩张图类的（组合）差异性.差异性理论产生于对统计分布和数字序列的不规则性的研究.组合差异性本身就是该领域的一个重要课题.它衡量的是集合系统不可避免的不规则性以及对其进行逼近的内在困难性.我们用集合系统的（组合）差异性给出了有界扩张图类的一个新的等价刻画.特别地,我们证明了在邻域集合系统中,图G的所有子图H的差异性的最大值同时属于Ω（logdeg（G））和O（deg（G））,其中deg（G）为G的退化性.然后我们把该结果推广到图的弱染色数与其幂图的差异性之间的不等关系,从而推导出有界扩张图类的一个新的等价刻画.χ-有界性是图的染色理论的一个核心概念.本学位论文研究了其在星染色和更广义的树深p-染色形式下的版本,χs-有界性（χs=χ2）以及（强和弱）χp-有界性.这适用于更广义的稀疏性,也很自然地对有界扩张图类的概念进行了拓展.在本学位论文中,我们解决了与χs-有界性相关的两个猜想.其中一个猜想断言,对于任意的树T,所有无（T,C4）的图所成图类是χs-有界的.我们证明,对任意森林T,所有无（T,Kr,t）的图所成图类是χs-有界的当且仅当r=1或者T是一棵树的1-细分的子图.因此,这个猜想被否定了,而它的一个弱化的版本是成立的.此外,对任意正整数p,我们用有界扩张性,拓扑子式等分别给出了强χp-有界图类和弱χp-有界图类的等价结构刻画.我们还把Wood关于图的染色数与其1-细分的星染色数之间相互界定关系的结论进行了推广.