微分方程定性理论是研究非线性系统的一个有效手段.在局部的定性分析中,奇点是非常重要的研究对象,因为非线性系统在常点附近的轨线结构是平凡的,复杂的结构出现在奇点附近.本论文研究的就是平面多项式系统在奇点附近的定性理论,主要包括可积性和线性化问题.本文内容由以下四部分组成:第一部分是引言部分,即第一章.介绍了平面多项式系统奇点定性理论的历史发展和研究现状,并对本文的主要内容做了简要概述.第二部分是准备知识部分,即第二章.首先详细阐述了本文的理论基础即正规形理论,其中不仅包括经典的线性化定理,还包括一些比较新的结果,比如关于可容许的非线性项的定理等;然后给出平面解析系统初等奇点的分类和相应的正规形,并将实平面系统经典的中心焦点问题推广为复平面系统的广义中心问题,即可积性问题;最后给出研究平面多项式系统的一种重要方法,那就是达布方法.第三部分是本论文的核心内容,包括第三章和第四章.这一部分详细研究了平面多项式系统在共振鞍点邻域内的可积性和线性化问题,具体来讲:第三章研究的是线性化问题.对于实平面中心焦点系统,可线性化中心等价于等时中心.由此也可将等时中心推广为复平面系统的广义等时中心,即可线性化的广义中心.在这一章中,作者详细研究了四次齐次多项式系统在1:′2共振鞍点邻域内的线性化问题,取得了这类系统可线性化的充分必要条件,并将它们按一定的标准分为了10类,从而完全解决了此类系统的线性化问题.第四章研究的是可积性问题的伴随问题,即非可积系统共振鞍点的阶数问题.在这一章中,作者详细研究了一类具有一般共振关系和次数n的多项式系统x.=px-y~n, y.=-qy+x~n在原点处的鞍点阶数问题.通过将这类系统与一类二次Lotka-Volterra系统相联系并建立它们鞍点阶数之间的关系,作者证明了上述系统在一定条件下其鞍点阶数至少是n~2-1阶.这意味着对于共振关系和次数满足一定条件的n次多项式系统,其最高可能的鞍点阶数将不低于n~2-1.在这一章的最后,作者还给出了一个具有8阶鞍点的1:2共振三次齐次Lotka-Volterra系统的例子.第四部分是附录部分,包含三个附录,分别是第三章的线性化常数数据,平面多项式系统可积性与线性化问题的研究现状总结表格和几类系统的可积性与线性化的充分必要条件.