【摘 要】
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由于自然界中Allee效应无法避免,所以描述该现象的反应扩散方程获得了人们的广泛关注,并且得到了许多有意义的研究结果.这些结果表明退化情形下反应扩散方程的行波解和渐近传播速度在某些方面与非退化情形有本质的不同,比如行波解波速的唯一性、渐近行为以及传播的成功或失败.不同于非退化情形,退化情形下相应线性化算子的特征值问题中出现零特征值,这导致很多经典的方法无法直接使用.本文将考虑退化时间周期反应扩散方
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由于自然界中Allee效应无法避免,所以描述该现象的反应扩散方程获得了人们的广泛关注,并且得到了许多有意义的研究结果.这些结果表明退化情形下反应扩散方程的行波解和渐近传播速度在某些方面与非退化情形有本质的不同,比如行波解波速的唯一性、渐近行为以及传播的成功或失败.不同于非退化情形,退化情形下相应线性化算子的特征值问题中出现零特征值,这导致很多经典的方法无法直接使用.本文将考虑退化时间周期反应扩散方程、退化时滞反应扩散方程以及退化Lotka-Volterra竞争扩散系统的行波解和渐近传播速度.本文首先研究了一类退化时间周期反应扩散方程的行波解和渐近传播速度.通过使用辅助方程的性质和极限过程建立了行波解的渐近行为.结论表明退化情形下临界波速对应的行波解具有指数衰减行为,非临界波速对应的行波解不具有指数衰减行为,这与非退化情形不同.接着利用渐近行为和滑动技术得到了行波解在临界波速时的单调性以及平移意义下的唯一性.最后结合上下解和平衡态的稳定性给出了传播成功或失败的一些充分条件,这些条件依赖于非线性项退化性的强弱以及初值紧支集的大小.其次研究了退化时滞反应扩散方程.在退化单稳情形下,通过构造合适的上解证明了行波解的存在性,并且建立了行波解的单调性,渐近行为以及平移意义下的唯一性.接着说明了退化性和时滞对行波解的临界波速以及传播的成功或失败的影响.结论表明退化情形下传播的成功或失败依赖于非线性项的退化性和初值的紧支集,这也与非退化情形有本质的不同.进一步,本文考虑了几类特殊退化时滞反应扩散方程的行波解,研究发现大时滞可以减慢临界波速.最后研究了退化Lotka-Volterra竞争扩散系统.对于非退化单稳情形而言,持久或灭绝现象完全由相应的反应系统决定,初始栖息地的范围不会影响最终状态.不同于非退化情形,退化情形下当固定其相应的反应系统时,通过选取不同的初值可以得到几种不同的持久或灭绝的结果,这些结果体现了非线性反应项和扩散项之间的平衡.比如说通过选取不同初值,即使相应反应系统中存在全局稳定的正平衡点,也可以观察到四种不同的传播现象.结论进一步表明种间弱竞争可能不利于某一物种的持久,并且相应反应系统中的强势竞争者并不总是无敌的,其也有可能被相应反应系统中的弱势竞争者淘汰,这依赖于初始栖息地的大小和Allee效应的强弱.
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