分数阶微积分理论诞生于数学领域,之后逐步在自然和科学领域被广泛研究。作为控制学科的重要组成,分数阶控制理论有着特有的优势。分数阶控制系统相对于整数阶控制系统而言,能够更准确描述工业过程的内部机理,所以,许多以分数阶微积分理论为基础建立的对象模型更为准确。针对分数阶控制系统,确定最优控制律能使系统达到安全准确有效的工作状态,因此,分数阶系统优化问题的求解极具价值。而作为分数阶优化理论的重要组成部分,分数阶正则化理论在辨识和图像处理领域极具应用价值。当前的分数阶优化及正则化理论已有较多研究,但各类求解优化问题的方法仍存在欠缺,求解算法精度及复杂度依然有改进空间。本课题在前人研究的基础之上,对分数阶系统优化问题的求解以及分数阶变分正则化问题做了更深入的研究:1.针对分数阶最优控制问题,提出以分段线性插值离散化理论为核心的求解算法,并将该算法用于复合型分数阶最优控制问题的求解。与传统的离散化及求解算法相比,分段线性插值离散化算法在求解线性时不变和时变分数阶最优控制问题时,均可得到更为精确的数值解。由于对算法收敛性的提升,也使所提算法求解效率得到提升。此外,对复合型的分数阶最优控制问题,即控制系统状态方程同时含有分数阶和整数阶微分项,使用本课题所提出算法进行求解,亦可达到更高的求解精度和更优的性能指标。2.本课题对分数阶变分l₁正则化问题进行探讨,研究重点在于分数阶变分模型的求解与应用。研究内容针对图像恢复问题,建立分数阶变分l₁正则化模型,并用分裂布雷格曼迭代算法对模型求解,改进了现有求解算法精度不高和收敛较慢的不足。此外,提出了改进的分数阶掩模算子的自适应策略,以及两个模型正则化参数的整定策略。仿真实验使用标准图像库,验证本文提出算法的有效性和合理性,及较好的收敛性和鲁棒性。仿真实验使用医学图像数据库（LIDC-IDRI）,验证提出方法在医学图像处理领域的应用价值。本课题的研究重点总结为:对含有分数阶微积分定义的优化问题的求解算法进行理论性的研究和分析,提出有效求解算法提升已有方法的精度和准确性。设计了不同的数值仿真实验,验证了本课题提出方法的有效性和实用性。