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设n为正整数，σ(n)：=∑d/nd表示n的所有因子之和。如果σ(n)=2n，我们称正整数n是一个完全数。设k≥2是一个整数。如果σ(n)=kn，我们称n是一个多重完全数，也称k完全数。
本论文主要研究多重完全数的结构、欧拉部分和分布，得到的主要结果如下：
1.奇多重完全数的结构。设n为奇的k完全数，v2(k)≥1为2整除k的最大指数。S为满足1≤s≤／v2(k)的任意整数。那么n具有下面的形状:n=pe1 1 pe2 2…pes s M2，其中M为正整数，pi为素数且(pi,M)=1，ei为奇整数。如果v2(k)-s有一个非负分拆v2(k)-s=α1+α2+…+αs+b1+b2+…bs，αi≥0，bj≥0，那么素数p1，Ps满足pi(=)2αi+1-1(mod 2αi+2)指数e1，…es满足ej三2bj+1-1(rood 2bj+2).称Π=pe1 1…pes s为n的欧拉部分。直接推论是著名的欧拉定理：奇完全数n具有下面的形状:n=παm2，其中π为素数，α为奇数且(π，m)=1，π(=)α(=)1(mod 4)所得结果推广了Broughan and Q.Zhou的结果(J Number Theory 128：1566-1575,2008)。
2.奇多重完全数的欧拉部分的性质。我们刻画了奇完全数n=παM2的欧拉部分πα的同余性质：σ(M2)(=)1(mod 4)(→)π(=)α(mod 8),σ(M2)(=)3(mod 4)(→)π(=)α+4(mod 8).设n=／TΠM2为一个奇2k-完全数，Π为n的欧拉部分。如果M所有的素因子都(=)3(mod 4)且Π-pe1 1…pes s qf1 1…qf2t 2t满足(σ(Π)，p1…Ps)=1，其中pi=1(mod 4)，qj(=)3mod 4t≥0为整数，那么Ω(σ(Π)2k)(=)0(mod 2)，这里Ω(σ(Π)/2k)为σ(Π)／2k所有素因子计数函数(包括相同的)。设n=Πq2βΠs I=1p2βi I为奇2k-完全数。如果q是一个Fermat素数，即形如q=22t+1的素数，且满足Πsi=1(2βi+1)≠0(rood q)，那么q2β|σ(Π).
所得结论扩展了Starni的结果(J.Number Theory 116：483-486,2006；J NumberTheory 37：366-369，1991)。
3.奇多重完全数的分布。我们证明对固定的r≥1，满足ω(n)≤r的奇本原k-完全数n至多为(k-1)4r3个。
这推广了最近Pollack关于奇完全数的结果(Amer.Math.Monthly．118：161-164,2011)。