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带有一个指标为v的不定度量的微分流形称为半黎曼流形,或称伪黎曼流形.特别当指标v=1时称为洛伦兹流形,它的度量称为洛伦兹度量.洛伦兹空间型是带有一个常曲率的洛伦兹度量的微分流形.
设M是洛伦兹空间型中的浸入超曲面.根据定义,如果超曲面M的诱导度量是洛伦兹度量,则称M是洛伦兹超曲面.如果洛伦兹超曲面M的形算子A的最小多项式是常的,即在每一点p∈M形算子A的最小多项式都是一样的,则称M是洛伦兹等参超曲面.
本文研究洛伦兹球面S1n+1(()R1n+2)中的n维Ⅱ型洛伦兹等参超曲面M,给出了这种超曲面的完全分类,证明了这种超曲面的存在性定理和局部刚性定理.如果M的主曲率全都相等,称M是全脐的.设M具有2个互异的主曲率a1,an(a1≠an),形算子A的最小多项式为(λ-a1)2(λ-an).当a1的重数P=2时,M称为是半脐的.文中证明了M实际上是将乘积流形S+p-2(t)× Sn-p(t)沿着单参数类光直线族{Lt|t∈I}的每一条直线Lt平行移动而得.特别当P=n时M是全脐的,当P=2时M是半脐的.
第1节介绍了问题的历史来源和研究现状.第2节给出了S1n+1中Ⅱ型洛伦兹等参超曲面M的基本公式,证明了本文多次用到的一个重要引理.第3节证明了S1n+1中Ⅱ型洛伦兹等参超曲面M的存在性定理.第4节通过选取适当的局部标架和局部坐标,将第2节中的基本公式进行简化。然后在第5节证明了这种超曲面的局部刚性定理.最后在第6节通过求解常系数常微分方程组Cauchy问题,得到几个S1n+1中洛伦兹等参超曲面的例子.其中的一个例子说明与黎曼空间型中的情况不同,在S1n+1中具有常数主曲率的洛伦兹超曲面未必是等参的.