【摘 要】
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回复性是动力系统中的核心内容之一,在概率论中称为常返性,它描述了动力系统和Markov过程的渐近行为和复杂性.根据Poincaré回复定理和Birkhoff回复定理,回复性广泛存在于动力系统中.另一方面（正的）常返性本质上等价于Markov过程不变（概率）测度的存在性,众所周知不变测度的存在性在Markov过程理论中起着重要作用.本学位论文致力于研究以下两个问题.1.Lévy噪声扰动的随机微分方程
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回复性是动力系统中的核心内容之一,在概率论中称为常返性,它描述了动力系统和Markov过程的渐近行为和复杂性.根据Poincaré回复定理和Birkhoff回复定理,回复性广泛存在于动力系统中.另一方面（正的）常返性本质上等价于Markov过程不变（概率）测度的存在性,众所周知不变测度的存在性在Markov过程理论中起着重要作用.本学位论文致力于研究以下两个问题.1.Lévy噪声扰动的随机微分方程的回复解的存在性、唯一性及稳定性.考虑如下Lévy噪声扰动的随机微分方程:dY（t）=（AY（t）+f（t,Y（t）））dt+g（t,Y（t））dW（t）+∫|x|U<1 F（t,Y（t-）,x）N（dt,dx）+∫|x|U≥1 G（t,Y（t-）,x）N（dt,dx）,其中A是指数稳定的线性算子（通常是无界算子）,系数f,g,F,G关于t是回复的.本文用一个统一的框架研究了上述带大跳的无穷维Lévy噪声扰动的随机微分方程的回复解（包含平稳解、周期解、拟周期解、概周期解、几乎自守解、Birkhoff回复解、Bebutov意义下几乎回复解、Levitan概周期解、伪周期解、伪回复解和Poisson稳定解）.本文证明了在系数满足适当条件时方程存在唯一的有界解,它在依分布意义下继承了系数的回复性.本文进一步证明了这些解在均方意义下是全局渐近稳定的.此外本文举例说明了以上理论结果.2.Lévy噪声扰动的随机常微分方程在无穷区间上的平均原理.考虑如下Lévy噪声扰动的随机微分方程:dY（t）=ε（A（t）Y（t）+f（t,Y（t）））dt+（?）g（t,Y（t））dW（t）+（?）∫|x|U<1 F（t,Y（t-）,x）N（dt,dx）+（?）∫|x|U≥1 G（t,Y（t-）,x）N（dt,dx）,其中时间尺度0<ε<<1是一个小参数,算子A是有界的,系数f,g,F,G关于t是回复的.与现有的有限区间随机平均原理不同,本文对上述具有回复系数的Lévy噪声扰动的随机常微分方程在无穷区间上建立了平均原理,即Bogolyubov第二定理.本文证明了若方程系数是回复的（包含周期的、拟周期的、概周期的、几乎自守的等）,那么原方程存在唯一的有界解,它保持了系数的回复性,且在整个实轴上当时间尺度趋于零时这个回复解在依分布意义下一致收敛到平均方程的平稳解.最后本文给出两个例子.
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