碰撞振动作为一类共性科学问题，广泛存在于含间隙机械工程领域中。碰撞引起的非光滑因素导致系统的动力学行为复杂多变，使其呈现出比一般光滑振动系统更为丰富的动力学现象。针对碰撞振子开展强非线性动力学机理和分析方法研究，揭示其中广泛存在的失稳机理并实施有效控制，对于推动非光滑动力学的深入发展并提升其在含间隙机械工程领域中的设计应用潜力具有重要意义。
　　当前，碰撞振子的擦边(Grazing)奇异性机理分析是非光滑动力学领域的一大难题。所谓擦边，是指相空间中碰撞振子轨线与碰撞面相切接触，导致运动出现不确定性的现象。擦边能导致碰撞振子的庞加莱映射出现奇异性，并对系统动力学行为的形成与演化产生本质影响。大部分涉及碰撞振子运动稳定性、分岔与混沌的研究工作，均避开了周期轨线退化(例如零速度冲击)条件下的擦边现象，对擦边奇异性机理还缺乏深刻的理解与认识。因此，非常有必要围绕擦边奇异性机理分析这一关键问题开展深入研究和讨论。
　　本文针对碰撞振子擦边分岔中一类特殊的余维二分岔现象，即退化擦边分岔，开展系统、深入的分岔机理分析和控制策略研究。本文的主要工作如下
　　(1)推导了二阶截断的局部零时间不连续映射(Local zero time discontinuity mapping)，可有效解决最低阶截断的不连续映射在特殊参数域内无法反映原系统擦边分岔特性的难题，为全文研究退化擦边分岔奠定理论基础和提供有效的分析方法。基于二阶截断的不连续映射，解析研究了擦边分岔邻域内单碰周期一运动的存在性，提出了退化擦边分岔点的明确计算指标。该方法可推广到含多个约束面的碰撞振子。
　　(2)基于退化擦边邻域单碰周期一运动的存在性分析结果，讨论了存在性方程中各实数解对应的物理含义，揭示了退化擦边邻域单碰周期一运动的共存特征。基于二阶不连续映射，结合摄动分析推导了单碰周期一运动的截断特征方程，可有效分析稳定性和分岔类型，克服擦边奇异性导致的非线性求解不收敛难点。在二自由度碰撞振子退化擦边邻域，首次发现了Neimark-Sacker分岔及相应余维二分岔现象，揭示了产生这类新颖动力学现象所需共轭特征值的两条主要演化途径，即特征值交互和擦边分岔诱导。
　　(3)使用并行分析方法计算了退化擦边邻域双参数分岔图，将退化擦边分岔的研究对象从简单单碰周期一运动拓展到复杂运动，揭示了单碰周期一运动失稳后的双参数演化规律。在此基础上，使用单参数分岔图、打靶法和胞映射分析方法对一些典型演化过程展开细节讨论与分析，促进了对双参数分岔图的理解与认识。研究结果表明，单碰周期一运动的亚临界倍化分岔引发文献中报道的常规的分岔演化序列，而超临界倍化分岔或亚临界Neimark-Sacker分岔则引发未曾报道的非常规分岔演化序列以及新颖动力学现象。
　　(4)基于推导的二阶不连续映射，在控制系统中开展单碰周期一运动的特征值摄动分析，提出了特征值退化控制策略来抑制原系统退化擦边邻域出现的突跳现象。本文提出的特征值退化控制策略将擦边诱导的奇异特征值控制到单位圆内，成功实现了从未碰周期一运动到单碰周期一运动的连续转迁过程。该控制策略克服了现有文献中基于擦边稳定性准则的控制策略无法产生平稳且可预测的周期响应这一缺点。