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设πe(G)表示群G的元素阶的集合,K1(G)表示群G的最高阶元素的阶,K2(G)表示群G的次高阶元素的阶.在有限群的结构研究中,不难发现,群的数量关系极大程度地决定了群的结构,如Sylow定理、奇阶群可解定理等.20世纪80年代,我国著名群论专家施武杰教授曾提出只用群的阶和元素阶的集合来刻画单群猜想.该猜想提出后,众多群论学者对此进行了研究.施武杰教授也进行了大量工作,并证明了几乎所有有限单群都可以仅用群的阶和元素阶的集合来刻画.2009年,俄国数学家Vasilev A V等人在施武杰教授的基础上最终完成了该猜想的证明,其结论是:设G是有限群,M是有限单群,则G ≌ M的充分必要条件是|G|=|M|且πe(G)=πe(M).在该猜想得到证明后,学者们开始关注减少数量是否仍然可以刻画单群.其中陈贵云教授及何立官曾只用群的阶及元素最高阶和次高阶对部分交错单群和对称群进行了新刻画.并得到如下结论:(1)设G为有限群,M为交错单群An(n=5,6,7,9,10,11,13),则G≌M当且仅当 |G|=|M|且K1(G)＝K1(M).(2)设G为有限群,M为交错单群An(n=8,12),则G ≌ M当且仅当|G|=|M|且Ki(G)＝Ki(M),i=1,2.(3)设G为有限群,M为对称群:S5,S6,S7,则G≌M的充分必要条件是K1(G)=K1(M)且 |G|=|M|.但在类似的研究中都把群的阶作为必须的已知条件.陈贵云教授及陈梦等人曾将群G的阶换成其2-Sylow子群的阶来讨论群的结构,对最高阶元的阶为5及Sylow 2-子群的阶为2,4,8时的有限群、最高阶元的阶为7及Sylow 2-子群的阶为8的有限群的结构进行了研究.虽然在仅限制2-Sylow子群的阶时,无法得到单群的刻画,但此研究对观察不同数量下群结构的变化是具有理论意义的.本文继续此研究,研究2-Sylow子群的阶及元素最高阶和次高阶与Mathieu群M11、M12、M22、M23、M24相同的有限群.利用2-Syolw子群的阶、外自同构群、素图连通分支及其孤立点的若干性质,讨论群的结构,并得到如下结论:定理3.1设群G的2-Sylow子群的阶及元素最高阶和次高阶与M11相同,则G同构于下列群之一:(1)G/H ≌ M11,H为幂零群,|G|=24.3a.5.11,其中a ≥ 2,|H|=3a-2,且exp(H)|3;(2)G=HK为以K为核H为补的Frobenius群,|G|=24.3a.11d.H2为广义四元数群,H3为循环群,K为初等Abel 11-群;(3)G=HK为以K为核H为补的Frobenius群,|G|=24.11d,H为广义四元数群,K为初等Abel 11-群.定理3.2设群G的2-Sylow子群的阶及元素最高阶和次高阶与M12相同,则:G/H ≌ M12,H为幂零群,|G|=26.3a.5b.11,其中 a ≥ 3,b ≥ 1,|H|=3a-3 或5b-1,且 exp(H)|9 或 exp(H)=5.定理3.3设群G的2-Sylow子群的阶及元素最高阶和次高阶与M22相同,则:G/H ≌ M22,H为幂零群,|G|=27·3a·5·7·11,其中 a ≥ 2,|H|=3a-2,且exp(H)|3.定理3.4设群G的2-Sylow子群的阶及元素最高阶和次高阶与M23相同,则G同构于下列群之一:(1)G/H≌ M23,H为幂零群,|G|=27·3a·5b·7·11·23,其中 a ≥ 2,b ≥ 1,|H|=3a-2 或 5b-1,且 exp(H)|9 或 exp(H)=5;(2)G/H≌ M23,H为幂零群,|G|=27·3a·5·7c·11·23,其中 a ≥ 2,c ≥ 1,|H|=3a-2 或 7c-1,且 exp(H)|9 或 exp(H)=7;(3)G/H≌ M23,H为幂零群,|G|=27·32·5b·7c·11·23,其中 b ≥ 1,c ≥ 1,|H|=5b-1 或 7c-1,且 exp(H)=5 或 exp(H)=7.定理3.5设群G的2-Sylow子群的阶及元素最高阶和次高阶与M24相同,则G同构于下列群之一:(1)G/H ≌ M24,H为幂零群,|G|=210·3a·5b·7·11·23,其中 a ≥ 3,b ≥ 1,|H|=3a-3 或 5b-1,且 exp(H)|9 或 exp(H)=5;(2)G/H ≌ M24,H为幂零群,|G|=210·3a·5·7c·11·23,其中 a ≥ 3,c ≥ 1,|H|=3a-3 或 7c-1,且 exp(H)|9 或 exp(H)=7;(3)G/H ≌ M24,H为幂零群,|G|=210·33·5b·7c·11·23,其中 b ≥ 1,c ≥ 1,H|=5b-1 或 7c-1,且 exp(H)=5 或 exp(H)=7.