科学、工程乃至社会生活中均广泛存在非线性现象,而其中很多问题都可以用非线性微分方程来描述.众所周知,非线性微分方程的求解要远比线性问题要困难.自1992年廖世俊提出同伦分析方法以来,这个强大而便捷的解析工具在诸多领域的非线性问题求解中得到了广泛的应用.本论文基于同伦分析方法和现代小波理论,提出了一种求解非线性边值问题的新方法,即小波同伦分析方法.论文的主要贡献如下:(1)将同伦分析方法和广义Coiflet小波理论成功地结合在一起,提出了小波同伦分析方法,并分别以一维和二维Bratu方程为范例,绍了求解常、偏微分方程边值问题的小波同伦分析方法的基本思想和主要算法步骤.(2)介绍了一种利用小波同伦分析方法寻找多解的策略.其主要思想是通过引入参数的方式将原非线性边值问题转化成含待定参数的边值问题.为了求解含待定参数的非线性边值问题,分别对控制方程和边界条件构造零阶形变方程.通过计算结果的分析与对比,验证了该策略的有效性.(3)在小波同伦分析方法的框架内,给出了非齐次边界条件的小波处理方法.该方法普遍适用于处理各种简单边界条件及混合边界条件,并具有较高的计算效率.另外,该方法算法步骤简单规范,故比较容易进行实际应用.(4)为了求解各种类型的变系数微分方程,发展出一种通用的方法,即广义小波伽辽金方法.与传统的小波伽辽金方法相比,广义小波伽辽金方法完全避免了复杂连接系数的计算,对各种类型的微分方程具有更加广泛的适用性和更高的求解效率.总的来说,本论文中提出的小波同伦分析方法具有以下优势:a)同传统同伦分析方法一样,小波同伦分析方法提供了一种保证收敛的方法,即:通过调节控制收敛参数的大小,可方便控制解的收敛性;b)可以通过调节分辨率水平来平衡计算效率与解的精度之间的关系;c)与传统的同伦分析方法相比,由于解表达与计算效率对辅助线性算子的选择不敏感,故小波同伦分析方法在辅助线性算子的选择上更加自由,同时也更加容易;d)小波同伦分析方法具有较高的求解效率,特别是在求解过程中随着逼近阶数的增加,CPU耗时仅线性增长;e)小波同伦迭代技术可以显著加速收敛.总而言之,小波同伦分析方法为求解非线性边值问题提供了一种便捷而高效的方法。